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% TEX 本文用フォーマット
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% ・ このファイルはメインファイルから読み込まれることで使用される.
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% ・ このファイル単体ではコンパイルできないので注意.
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% 2002/10/09  森川 靖大   作成
% 2003/04/15  光田 千紘   基礎物理ゼミ用に修正
% 2003/06/05  光田 千紘   カウンターの setting 変更
% 2004/04/12  福井 隆     2004 年度用に修正
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%%%%%%%%   Subtitle, Date, Filename Setting     %%%%%%%%
\Dauthor{ 樋山 克明 } % 自分の名前
\Ddate{ 2004/06/02 } % 作成日
\Dfile{ sec0201.tex } % ファイルの名前 
% ファイル名はその節の何人目の担当かで付けてください.
% 1 週目 ; 
% 小松さん : sec0102.tex
% 北守さん : sec0103.tex
% 樋山さん : sec0201.tex
% 光田さん : sec0202.tex

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%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%

\setcounter{chapter}{0}
\setcounter{section}{2}    % (章番号) をいれる
\setcounter{subsection}{0} % (節番号 -1) をいれる
\setcounter{subsubsection}{0} % (小節番号 -1) をいれる
%\setcounter{footnote}{0}  %

% 式・図表の番号は全て通しなので, 基本的にいじらなくて OK.
%\setcounter{equation}{0}   % (式番号 -1) をいれる
%\setcounter{page}{1}
%\setcounter{figure}{0}     % (図番号 -1) をいれる

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%%%%%%%%              Text Start                %%%%%%%%
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% 以降, 本文を書いてください.
この章では，
星の構造を学ぶための背景知識を形作る
いくつかの多方面にわたる問題について論じよう．
考慮すべき主たる話題は：
理想気体の熱力学，
ビリアル定理，
黒体放射の熱力学である．

\subsection{理想気体における比熱}
前の章での結果に従って，
理想気体を考えると
\begin{equation}
	pV = RT  \ \  ; \ \ \  U = U(T)
	\label{1}
\end{equation}
であり，
ここで$T$は絶対温度で，
比例定数$R$は「気体定数」である．

無限小の準静的状態変化から，以下を得る．
\begin{equation}
	dQ = dU + pdV
	\label{2}
\end{equation}
また式(\ref{1})より以下のようになる．
\begin{equation}
	dQ = \frac{dU}{dT}dT + pdV
	\label{3}
\end{equation}
$a$を物理変数の関数としよう．
すると$a$が定数のときに比熱$c_a$は以下のように定義される．
\begin{equation}
	c_{a} =\biggl( \frac{dQ}{dT} \biggr) _{\mathrm{a = constant}}
	\label{4}
\end{equation}
式(\ref{4})の右辺は
$a$が一定であることから
式(\ref{3})によって決められる．
それ故に，
定積比熱$c_{V}$は以下のようになる．
\begin{equation}
	c_{V} = \frac{dU}{dT}
	\label{5}
\end{equation}


定圧比熱$c_p$を決めるために，
以下のように進めていく．
状態方程式から，以下を得る．
\begin{equation}
	pdV + Vdp = RdT
	\label{6}
\end{equation}
式(3)と式(6)から
\begin{equation}
	dQ =  \biggl( \frac{dU}{dT} + R \biggr) dT - Vdp
	\label{7}
\end{equation}
となり，このことから
\begin{equation}
	c_{p} = \frac{dU}{dT} + R
	\label{8}
\end{equation}
となる．
式(5)と式(8)から以下の重要な結果を得る．
\begin{equation}
	c_{p}-c_{V} =  R
	\label{9}
\end{equation}
比熱比$\gamma$は$c_{p}/c_{V} $によって定義される．

今後は，$c_V$が$T$から独立だと仮定する．
これは気体の運動理論の結果で
第10章にてもう一度議論する．
そのとき，式(5)から内部エネルギーは以下のようになる．
\begin{equation}
	U = c_V T
	\label{10}
\end{equation}

\subsection{断熱変化}

式(5)を用いて，
準静的変化する$dQ$を
\begin{equation}
	dQ = c_V dT + pdV
	\label{11}
\end{equation}
と書け，また状態方程式を用いて以下のように書ける．
\begin{equation}
	dQ = c_V dT + \frac{RT}{V}dV
	\label{12}
\end{equation}
準静的断熱変化により，
\begin{equation}
	c_V dT + \frac{RT}{V}dV = 0
	\label{13}
\end{equation}
となり，また式(9)を用いて
\begin{equation}
	c_V \frac{dT}{T} +(c_p - c_V)\frac{dV}{V} = 0
	\label{14}
\end{equation}
となり，以下を得る．
\begin{equation}
	c_V \log{T} +(c_p - c_V)\log{V} = constant
	\label{15}
\end{equation}
比熱比を用いて，式(15)を以下のように書き直せる．
\begin{equation}
	TV^{\gamma-1} = constant
	\label{16}
\end{equation}
$pV = RT$を用いて，
式(16)から$T$を消去して，以下を得る．
\begin{equation}
	pV^{\gamma} = constant
	\label{17}
\end{equation}
同様に，式(16)と式(17)の間の$V$を消去して以下を得る．
\begin{equation}
	p^{1-\gamma}T^{\gamma} = constant
	\label{18}
\end{equation}
したがって，
断熱過程において以下のようになる．
\begin{equation}
	pV^{\gamma} = constant \ ; \ \ \ p^{1-\gamma}T^{\gamma} = constant \ ; \ \ \  TV^{\gamma-1} = constant
	\label{19}
\end{equation}
この式(19)はPoissonによるものである．
以上の形の導出はLord Kelvinによるものである．


\subsection{ポリトロピック変化}
ポリトロピック変化は全過程において
比熱が一定(ある規定値)の条件でなされる準静的状態変化である．
それ故に，以下のようになる．
\begin{equation}
	\frac{dQ}{dT} = c = constant
	\label{20}
\end{equation}
断熱変化は，比熱がゼロでのポリトロピック変化であり，
等温変化は，熱容量が無限大でのポリトロピック変化である．
定圧，定積での準静的変化は
それぞれ比熱$c_p$，$c_V$でのポリトロピック変化であることも明らかである．
ポリトロピック変化はG.Zeunerによって初めて熱力学に導入され，
Helmholtzと特にEmdenによって広範囲に用いられた．

無限小のポリトロピック変化で，式(11)と式(20)から以下を得る．
\begin{equation}
	(c_V - c) dT + pdV = 0
	\label{21}
\end{equation}
式(21)はポリトロピック変化の方程式である．
式(21)から
\begin{equation}
	(c_V - c) \frac{dT}{T} + (c_p - c_V)\frac{dV}{V} = 0
	\label{22}
\end{equation}
であり，また積分して以下を得る．
\begin{equation}
	T^{(c_V - c)}V^{(c_p - c_V)} = constant
	\label{23}
\end{equation}
ポリトロピック指数$\gamma^{\prime}$を以下のように定義する．
\begin{equation}
	\gamma^{\prime} = \frac{c_p - c}{c_V - c} 
	\label{24}
\end{equation}
以下を得る．
\begin{equation}
	\gamma^{\prime} - 1 = \frac{c_p - c_V}{c_V - c} 
	\label{25}
\end{equation}
式(23)は以下のように書くことができる．
\begin{equation}
	TV^{\gamma ^{\prime}-1} = constant
	\label{26}
\end{equation}
これはポリトロピック指数$\gamma^{\prime}$と比熱比$\gamma$と置き換わった
以外は式(16)と同じ形をしている．
したがって，前節とほぼ同様に，ポリトロピック変化について以下を得る．
\begin{equation}
	pV^{\gamma ^{\prime}} = constant \ ; \ \ \  p^{1-\gamma ^{\prime}}T^{\gamma ^{\prime}} = constant \ ; \ \ \  TV^{\gamma ^{\prime} -1} = constant
	\label{27}
\end{equation}


\subsection{Emdenによる定理}
$AB$と$CD$を
熱容量$c_1$，指数$\gamma_1$での
ふたつのポリトロピック変化とする．
さらに，
$AD$と$BC$を
熱容量$c_2$，指数$\gamma_2$での
ふたつの他のポリトロピック変化とする．
これらのよっつのポリトロピック変化は
点$A,点B,点C,点D$で交わるとする．
$p_A,V_A,T_A$を点$A$での物理変数の値とし，
$p_B,V_B,T_B$を点$B$での値とし，他も同様にする．


気体が準静的過程$ABCD$を通る場合を考えてみよう．
$dQ / T $は完全微分なので
\begin{equation}
	\oint \frac{dQ}{T}
	\label{28}
\end{equation}
閉じたサイクルでは，これは常にゼロになる．
上記の周積分を考慮の下に評価してみよう．
$AB$と$CD$に沿っては$dQ = c_1 dT$で，
$AD$と$BC$に沿っては$dQ = c_2 dT$であるので
\begin{equation}
	\oint \frac{dQ}{T}  = c_1\int _A^B \frac{dT}{T} + c_2\int _B^C \frac{dT}{T} + c_1\int _C^D \frac{dT}{T} + c_2\int _D^A \frac{dT}{T}  = 0
	\label{29}
\end{equation}
となり，また
\begin{equation}
	c_1 \log \frac{T_B}{T_A} + c_2 \log \frac{T_C}{T_B} + c_1 \log \frac{T_D}{T_C} + c_2 \log \frac{T_A}{T_D} = 0
	\label{30}
\end{equation}
であり，そして以下のようになる．
\begin{equation}
	(c_1 - c_2) \log \frac{T_B T_D}{T_A T_C} = 0
	\label{31}
\end{equation}
$c_1 \neq  c_2$なので
\begin{equation}
	T_B T_D = T_A T_C
	\label{32}
\end{equation}
となり，また以下のようになる．
\begin{equation}
	\frac{T_A}{T_B} = \frac{T_D}{T_C} \ \  ; \ \ \ \ \  \frac{T_A}{T_D} = \frac{T_B}{T_C}
	\label{33}
\end{equation}
ポリトロピック変化$AB$と$CD$に沿っては，
式(27)の関係で$\gamma ^{\prime} = \gamma _1$であるので
\begin{equation}
	\frac{T_A}{T_B} = \frac{V_B ^{\gamma _1 -1}}{V_A ^{\gamma _1 -1}}
	\label{34}
\end{equation}
となる．同様に以下のようになる．
\begin{equation}
	\frac{T_D}{T_C} = \frac{V_C ^{\gamma _1 -1}}{V_D ^{\gamma _1 -1}}
	\label{35}
\end{equation}
式(33)，式(34)と式(35)より，以下を得る．
\begin{equation}
	\frac{V_A}{V_B} = \frac{V_D}{V_C} \ \  ; \ \ \ \ \  \frac{V_A}{V_D} = \frac{V_B}{V_C}
	\label{36}
\end{equation}
同様に，以下のようになる．
\begin{equation}
	\frac{p_A}{p_B} = \frac{p_D}{p_C} \ \  ; \ \ \ \ \  \frac{p_A}{p_D} = \frac{p_B}{p_C}
	\label{37}
\end{equation}
よって，以下のことを証明できた．
\textbf{
与えられたクラス(すなわち与えられた指数)のポリトロピック変化の組があり，
もうひとつの異なったクラスのポリトロピック変化と交わるとすると，
そのとき交点での物理変数($p,V,T$)の比は，
ポリトロピック変化のふたつめのクラスにどんなものを選んでも，
等しくなる．}

以上のEmdenによる理論を，
以下の違った形式で述べることができる．
指数$\gamma_1$のポリトロピック変化$AB$は
点$A$で
別の指数$\gamma _2$($\gamma_2$は任意だが$\gamma_1$とは異なる)の別のポリトロピック変化によって切られている．
$AD$に沿って，
ある点$D$では$p_A/p_D$(or $T_A/T_D$ or $V_A /V_D$)は一定であると考える．
今$AD$はクラスが$\gamma _2$のどんなポリトロピック変化にもなれるとしよう．
$D$の軌跡は，そのときクラス$\gamma _1$の別のポリトロピック変化である．
以上で述べられてきた
Emdenの定理は気体の分布の理論に重要な応用ができる．
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%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
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