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% TEX 本文用フォーマット
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% ・ このファイル単体ではコンパイルできないので注意.
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% 2002/10/09  森川 靖大   作成
% 2003/04/15  光田 千紘   基礎物理ゼミ用に修正
% 2003/06/05  光田 千紘   カウンターの setting 変更
% 2004/04/12  福井 隆     2004 年度用に修正
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%%%%%%%%   Subtitle, Date, Filename Setting     %%%%%%%%
\Dauthor{ 樋山 克明 } % 自分の名前
\Ddate{ 2004/09/18 } % 作成日
\Dfile{ sec0401.tex } % ファイルの名前 
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% 樋山さん : sec0201.tex
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%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%

\setcounter{chapter}{0}
\setcounter{section}{4}    % (章番号) をいれる
\setcounter{subsection}{0} % (節番号 -1) をいれる
\setcounter{subsubsection}{0} % (小節番号 -1) をいれる
%\setcounter{footnote}{0}  %

% 式・図表の番号は全て通しなので, 基本的にいじらなくて OK.
%\setcounter{equation}{0}   % (式番号 -1) をいれる
%\setcounter{page}{1}
%\setcounter{figure}{0}     % (図番号 -1) をいれる

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%%%%%%%%              Text Start                %%%%%%%%
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% 以降, 本文を書いてください.
前の章では，平衡状態の最も一般的な特徴について考えた．
この章では，$P$と$\rho$の間の特別な関係から生じる
平衡状態のクラスについての詳細な研究について述べる．
まず，基本的な問題は$P$と$\rho$が以下の式(1)の関係で結び付けられる
平衡状態についての研究であり，
\begin{equation}
	P = K\rho^{(n+1)/n}
	\label{1}
\end{equation}
ここで$K$と$n$は定数である．
この問題の解はLane，Ritter，Kelvin，EmdenそしてFowlerによって
成された重要な貢献であり，
かなり物理的に興味深い．
それ故に，まず最初に
第一に
基礎となる式(1)のような「状態方程式」と共に
平衡状態の研究に結びつく
物理的状況を考えよう．

\subsection{対流ポリトロピック平衡}
対流平衡の物理的概念は 1862年，Lord Kelvin によって
彼の地球大気の温度に関する考察と結びつけて
初めて導入された．
Kelvin は対流平衡を以下のように定義した：
\begin{quote}
{\small 重力の影響下にあるどんな流体も，
掻き乱す影響(diturbing influence)により
起こる流体中での流れがとてもゆっくりで
影響が小さく，運動の慣性による圧力の変化が無視できるとき，
もしも密度と温度が流体全体にわたって分布して，
等密度面と等温面が不変のままであると，対流平衡にあると言える．
}
\end{quote}
Kelvin はさらに以下のように述べた．
\begin{quote}
{\small 対流平衡の本質は
流体の任意の場所 $P$ での小さな球体部分または立方部分が
熱不透過性のさやの中に
理想的に閉じており，
他の場所 $P^{'}$での流体の密度になるように
膨張もしくは収縮し，これにより
$P$での温度から$P^{'}$での流体の実際の温度まで
変化するだろう．
}
\end{quote}
考えている過程が準静的等温変化であり，
その結果第2章の式(19)
\footnote{式(19)
$$
pV^{\gamma} = constant \ ; \ \ \ p^{1-\gamma}T^{\gamma} = constant \ ; \ \ \  TV^{\gamma-1} = constant
$$}
は
\begin{equation}
	p = constant \cdot \rho^{\gamma} \ ; \ \ \ p^{1-\gamma}T^{\gamma} = constant \ ; \ \ \  T\rho ^{1-\gamma} = constant
	\label{2}
\end{equation}
となるのは明らかで，ここで$\gamma$は比熱比である．
$p$と$\rho$を結びつける関係は式(1)の形であるように見える．

$p$と$\rho$が式(2)で関連付けられるガス状態(gaseous configuration)
の重力平衡は，Lane(1870)によって最初に考えられたが，
同じ問題が独立してRitter(1878)とまたKelvin(1887)によっても考えられた．

対流平衡にあるガスの球体の断熱膨張，断熱収縮の
式(2)に加え，
Kelvinは以下のような興味深い見解を述べた：
\begin{quote}
{\small 
もしもガスが熱不透過性の剛体球殻に閉じられていて，
十分長い時間そのまま残されていたとすると，
温度が完全に均一になるまで，``熱伝導''により
総体的な熱平衡に収束する．
しかしもしも
ガス全体に渡って人工的に混ぜられたとすると，
流れはそれほど圧力と密度の静的分布を乱さず，
おおよそ私の言う温度の対流平衡になるだろう．
{\textbf {自然撹拌}}(natural stirring)は太陽のような巨大な自由流体球の中で
表面での冷却によって生じ，
よい近似で流体全体にわたって大体対流平衡を実現するに
違いない，と私は信じる．
}
\end{quote}
Kelvinによると
断熱膨張，断熱収縮の式(2)を用いることができ，
``撹拌''過程の間，$dQ=0$である．
しかし，
一般的には必ずしもそうではない．
実際に，
彼の最初の対流平衡(高度による温度の変化を考えた地球大気)の
考えの適用では，
Kelvinは``撹拌''によって$dQ \ne 0$である物理過程が生じる
場合を考えなくてはならなかった．
この困難は
湿った大気の``自然撹拌''を考えた場合に
上向きの大気の流れでの蒸気の凝縮がかなり重要になるという状況から生じる．
この問題も過去にKelvinによって(Jouleの助言の下)考えられ，
もちろん現在でも気象学で根本的に重要である．
Kelvinの研究の現代版の中で，
そのような変化は一般的に
式$dQ = cdT$によって表されると考えられている．
より一般的には，撹拌過程の間，供給される熱量$dQ$が
温度の瞬間変化$dT$に比例すると，$dQ = cdT$であり；
これはポリトロピック変化の定義である．
ここで以下を得る．
\begin{equation}
	p = constant \cdot \rho^{\gamma ^{'}} \ ; \ \ \ \gamma^{\prime} = \frac{c_p - c}{c_V - c} 
	\label{3}
\end{equation}


従って，
ポリトロピック変化の考察は断熱変化の考察よりも一般的である；
後者は$c=0$と置いたときという特別な場合に得られる．
この理由によりEmdenはポリトロピック対流平衡を考えた．

第2章の5節で用いられた変数を用いると，
\begin{equation}
	\rho = \lambda \theta ^n  \ ; \ \ \ p = \frac{k}{\mu H} \Theta _{\gamma ^{'}}\lambda ^{(n+1)/n} \theta ^{n+1} \ ; \ \ \  n = \frac{1}{\gamma ^{'} -1}
	\label{4}
\end{equation}
と書けて，ここで$\Theta _{\gamma ^{'}}$はポリトロピック温度で，
これはもちろんガス球全体で同じである．
断熱対流平衡の場合，$\gamma ^{'}=\gamma$で$\Theta _{\gamma}$は断熱温度である．
これらの全ての考察で放射圧が無視できるので，
\begin{equation}
	P = K  \rho ^{1+(1/n)} \ ; \ \ \  K = \frac{k}{\mu H} \Theta _{\gamma ^{'}}
	\label{5}
\end{equation}
と書くことができる．

それ故に，
$P$と$\rho$が式(1)によって関連付けられている
平衡状態の構造の決定という
数学的問題を考えることになる；
対流(もしくは断熱かポリトロピック)平衡を考えるとき，
$K$の適切な値は式(5)によって定義される．
この方法で，すなわち式(1)を優先関係とみなして問題を取り扱う中で，
式(4)や式(5)に至るような考察とは無縁に，
その解析を式(1)の形式の関係がある場合に
あてはめることができるというさらなる利点を得ることができる．
この可能性を頭の中に留めておくことは重要であり，
実際第6章で放射平衡を考えるときに
かなり違った観点から式(1)の形の式にたどり着くことになる．
さらに，
星の内部の領域では
$P$と$\rho$の間の関係を 
mononomial relation によって
しばしば近似することができ，
また球殻の平衡の研究によって再び本質的に同じ数学的な問題に辿り着く．
しかしながら最初の段階では，
式(1)のような関係が，与えられた定数値$K$で質量全体にわたって有効である
平衡状態だけ考えることにする．

\subsection{平衡の式}
平衡を制御する式は(第3章の式(1),(4),(6))
\begin{equation}
	\frac{dP}{dr} = -\frac{GM(r)}{r^2} \rho \ ; \ \ \  \frac{dM(r)}{dr} = 	4\pi r ^2 \rho
	\label{6}
\end{equation}
\begin{equation}
	\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left( \frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr} \right) = -4\pi G \rho
	\label{7}
\end{equation}
であり，ここで仮定から，
\begin{equation}
	\rho = \lambda \theta ^n \ ; \ \ \  P = K  \rho ^{1+(1/n)}= K  \lambda ^{1+(1/n)} \theta ^{n+1}
	\label{8}
\end{equation}
と書くことができ，ここで$\lambda$はこの時点では任意の定数である．
式(8)を式(7)に代入して，
\begin{equation}
	\left[ \frac{(n+1)K}{4 \pi G} \lambda ^{(1/n)-1} \right] \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left( r^2\frac{d\theta}{dr} \right) = -\theta ^n
	\label{9}
\end{equation}
となる．ここで無次元変数$\xi$を取り入れて，
以下のように定義する．
\begin{equation}
	r = a\xi \ ; \ \ \  a = \left[ \frac{(n+1)K}{4 \pi G} \lambda ^{(1/n)-1} \right]^{1/2}
	\label{10}
\end{equation}
式(9)は
\begin{equation}
	\frac{1}{\xi^2}\frac{d}{d\xi}\left( \xi^2\frac{d\theta}{d\xi} \right) = -\theta ^n
	\label{11}
\end{equation}
となる．式(11)は``指数 n のLane-Emden 方程式''と言われる．

式(8)が有効などの領域でも，
式(11)によって密度分布が支配されるに違いない；
\footnote
{
式(8)は以下のようにやや一般的な形に書けて：
$$
	\rho = \lambda \theta ^n \ ; \ \ \  P = K  \lambda ^{1+(1/n)} \theta ^{n+1}	+ D
	\eqno \textrm{(8$^{'}$)}
$$
ここで $D$ は定数とする．
式(8$^{'}$)を用いても，
式(9)(10)(11)を得る．
}
もちろん式(8)が有効な領域は質量全体にわたり拡がっているとは限らない．
しかしながらまず最初に
{\textbf {完全ポリトロープ}}だけ，すなわち
式(8)のような関係をもつ平衡状態が質量全体にわたり有効な場合だけ考えよう．
その場合$\lambda$を中心密度$\rho _c$と等しくなるように選ぶことができ；
そのとき
原点では値が1になる式(11)の解を
探さなくてはならない．
さらに，
$d\theta /d \xi$は原点では必ず消える；
これは
式(6)と式(8)の1つ目から
から簡単に導かれる．
それ故に，
``標準化''$\lambda = \rho _c$を用い，
以下の境界条件を満たす
式(11)の解を探さなくてはならない．
境界条件は
\begin{equation}
	\theta = 1 \ ; \ \ \ \frac{d\theta}{d\xi} = 0 \ \ \   at \ \ \  \xi=0
	\label{12}
\end{equation}
境界条件(12)を満たす式(11)の解を``指数 n のLane-Emden 関数''と呼び，
$\theta _n$によって表される．
Lord Kelvinが関数$\theta _n$を``Homer Lane 関数''と呼び，
``なぜなら彼(Lane)は最初にそれを用い，また対流平衡にあるガス球星雲全体の
特徴を表現し，$n= 1.5$と$n=2.5$の場合を計算したからだ''と言ったの
思い起こすのは興味深い．

その時，問題となるのは
Lane-Emden 方程式を解くことと，
また特に
境界条件(12)を満たすような
Lane-Emden 関数(指数 n の値によって異なる)を見つけることである．
我々は，
まず最初に
一般解の議論に有用な
 Lane-Emden 方程式のさまざまな変形について考えよう．

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