浅水系における軸対称渦の安定性について

（数値計算の結果）

小西丈予

H15/6/18 DM2 ゼミ研究の動機

下部成層圏からの重力波の射出 ●大気大循環モデルによる解析 eg. Sato et al., 1999 ●観測結果のデータ解析 eg. Yoshiki and Sato, 2000

周極渦からの重力波の射出が示唆本研究

浅水系において渦と重力波の関係について知る

今回は渦の安定性に着目数値計算について

浅水系の軸対称渦を極座標系で数値的に解く方法の確立過去の研究

Ripa, 1987 安定性の十分条件の導出 Ford, 1994 線形安定性解析 Baey and Carton, 2001 二層系への拡張以下の構成

1. Ripa の安定条件の計算 2. 線形安定性解析

3. 非線形時間発展の計算浅水方程式 ●場の回転の効果を加える (f-平面浅水方程式系)

\begin{cases}\frac{∂h}{∂t} + ∇ · (hu) = 0 \\ \frac{∂u}{∂t} + u · ∇u + fk × u + g∇h = 0 \end{cases}

・流体の粘性および底面の地形は無視ポテンシャル渦度・流れに沿った保存量（ラグランジュ保存量）

Q = \frac{f + k · ∇ × u}{h}

ここでのポテンシャル渦度の与え方

Q = \frac{f + [1 − tanh(r^{2})]}{h}

系に特徴的なパラメタ・ f…コリオリ・パラメタ（系の回転の大きさを表す）

・ F …フルード数

\begin{aligned}F & = \frac{（流れの代表的な速度）}{（重力波の速度）} \\ & = \frac{U}{\sqrt{gH}} \end{aligned}

Ripa の安定性条件系のポテンシャル渦度、全エネルギー、全角運動量が各々保存することを使って、

∫∫ drdθ \{E′ − αrM′ + \frac{1}{2}H^{2} (α − \frac{U}{r} ) ∂_{r}QΔ^{2}\} = const.

なる量を作り、

[α − \frac{U}{r} ] ∂_{r}Q ≥ 0 [αr − U]^{2} ≤ gH

であれば、系は安定とみなす→十分条件 Ripa の安定性条件ここでは ∂_{r}Q ≤ 0 なので、

α = min(U/r) とおけば、第一式は自動的に満たされる。

↓

第二式が満たされるか計算する Ripa の条件の計算…結果のまとめ

f の値で分類する

・ f が正で絶対値が十分小のとき、 f が負で絶対値が小のときは F r がある値の範囲内のとき渦の安定のための十分条件を満たす

・それ以外ではすべての F r の値で渦は安定の十分条件を満たす数値計算手法についてスペクトル法

物理量の空間分布を境界条件を満たす直交関数系によって級数に展開して近似する方法 \underline{選んだ展開関数系}

・半径方向…Jacobi 多項式 Matsushima and Marcus, 1995 Verkley, 1997 など

・円周方向…Fourier 級数

↓

浅水方程式に適用（石岡, 2003 （投稿中））線形安定性解析

\{ \begin{matrix}h(r, θ, t) & = & h̄(r) & + & h̃(r)e^{i(mθ−ωt)} \\ u_{r}(r, θ, t) & = & & & ũ_{r}(r)e^{i(mθ−ωt)} \\ u_{θ}(r, θ, t) & = & ū_{θ}(r) & + & ũ_{θ}(r)e^{i(mθ−ωt)} \end{matrix}

・ h̃, ũ_{r}, ũ_{θ} に関して線形化する・ ω に関する固有方程式を作る

ω に着目→ Ford, 1994 Ford, 1994 による線形安定性解析…結果のまとめ

・ |f| が小さい範囲では m = 2 のとき最も発達率が大きい・ F ∼ O(1) のとき最も発達率が大きい →渦と重力波の相互作用がもっとも大きい有限領域での線形安定性解析…結果のまとめ

境界が原点から遠くなるにつれて、 Ripa の安定性条件と整合的な結果

・ F r の値によって安定、不安定はまちまち・数値的由来の不安定の可能性も有限領域での線形安定性解析…計算例

F r = 6 に固定・ f = 0, −0.5 → Ripa の不安定必要条件を満たしている・ m = 2 が最も発達率大非線形の数値計算

浅水方程式系…変数の置き換えで二次元圧縮性流体方程式と形が同じ

↓ Chan et.al (1993) …二次元圧縮性流体（外力なしの場合、 f = 0 に相当）の数値計算で軸対称渦が二つに分裂する結果を得た

↓ \underline{今回} f ≠ 0 のときの結果に注目計算の設定・切断波数 21 ・計算領域 r = [0, 8] ・境界条件 r = 8 （外側境界）で u_{r} = 0 ・ F = 2.5 に固定・ f = 0, 0.1, −0.1 の三つの場合について計算 \underline{スペクトル法による線形安定性解析の結果}

\begin{matrix}f & Im(ω) \\ -0.1 & 0.047 \\ 0 & 0.044 \\ 0.1 & 0.039 \end{matrix}

まとめ浅水系における軸対称渦の安定性について調べた・ Ripa の安定のための十分条件をこの系について適用した・線形安定性解析を行い固有値、固有モードの形を得た・非線形の時間発展の数値計算を行い渦が不安定を起こし分裂する様子を得た今後 Short Term... ・計算結果の理論的解釈、物理的意味について理解を深める・より高解像度の非線形数値計算を行い、放出される重力波エネルギーの解析を行う

Long Term... ・モデルを（二層）・多層、連続成層へと拡張して同様の解析を行う定常状態が満たす式二次元極座標系 (r, θ)

\{ \begin{matrix}\frac{dh̄}{dr} & = fū_{θ} + \frac{ū_{θ}^{2}}{r} \\ Q & = \frac{f + \frac{dū_{θ}}{dr} + \frac{ū_{θ}}{r}}{h̄} \end{matrix}

h̄ …基本状態における流体の深さ ū_{θ} …基本状態における円周方向の速度浅水方程式

\underline{特徴}

• 重力場中の自由表面を持つ流体の流れを表す

• 非圧縮で密度が一様な流体の流れを表す（一層の流体）

• 深さ方向の速度が等しい（二次元媒質と見なせる、速度と深さによって特徴づけ）