
% ���ͷ׻��ξＱ
% 20100722 (ô���ԡ���Ȫ����)



\documentclass[a4j,12pt]{jreport}
\usepackage{Dennou6}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{times}
\usepackage{url}
\usepackage{bm}
\usepackage{booktabs}
\pagestyle{Dmyheadings}

\setlength{\parskip}{2ex}

\setcounter{chapter}{4}
\setcounter{section}{1}
\setcounter{figure}{0}
\setcounter{table}{0}
\setcounter{page}{3}
\setcounter{equation}{0}

\makeatletter  % ���������ݤ�ɬ��. documentclass �θ���˽�ɬ�פ���
       % ��.
\renewcommand{\chapter}{%
  \thispagestyle{jpl@in}%
  \global\@topnum\z@
  \@afterindenttrue
  \secdef\@chapter\@schapter}
 % chapter ��ľ���ǲ��Ԥ��ʤ��褦������.
\makeatother

\def\thesecion{\arabic{chapter}.\arabic{section}}
\def\thesection{\arabic{section}}
\def\theequation{\arabic{section}.\arabic{equation}}
\def\thepage{\arabic{page}} % ����
%\def\thepage{\roman{page}} % �����޿���
\def\thetable{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{table}}
\def\thefootnote{\arabic{footnote} )}
\def\thefigure{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{figure}}

\Dtitle{GFD����Ρ���}{}
\Dauthor{��Ȫ����}{}
\Ddate{2010/07/22}
\markright{��5��  ������ʬˡ�����§��Ȥ����ʤ��ˤ�}


\begin{document}
�ܥΡ�����5�Ϥϰ����������ֿ��ͷ׻��ξＱ����7�� p.40�������ƤǤ���.
\chapter{������ʬˡ\\�����§��Ȥ����ʤ��ˤ�}
���ǽ񤤤Ƥ���ؿ���, ��ۤɤΤ��Ȥ��ʤ��¤꼰����ʬ�Ǥ��뤬, ��ʬ�Ϥ����¤�줿���Τ�Τ������η�����ʬ���뤳�ȤϤǤ��ʤ�
\footnote{
�㤨�и����ؿ�
\begin{equation*}
erf (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi } } \int^x_0 e^{-t^{2}} dt
\end{equation*}
�ϼ��η��Ǥ���ʬ�Ǥ��ʤ�.}. 
������, ����ʬ�ο��ͷ׻�ˡ�Ǥ���ֿ�����ʬˡ�פ����׻뤵���. ������ʬˡ�κǤ����Ū�ʸ����Ȥ����С����§ (trapezoidal rule ���뤤�� trapezium rule) �פ�, ���뤤�ϡ�����§ (mid-point rule) �פǤ�����. �����Ǥ����§�ˤĤ����ä�ʤ�Ƥ���. �ޤ�, �����˺���ʤΤ�¿����ʬ�ο��ͷ׻��ʤΤǤ��뤬, �ޤ��ϰ��ѿ��ؿ�$f(x)$������ʬ
\begin{equation*}
I = \int^b_a f(x) dx
\end{equation*}
�ο��ͷ׻����ä������뤳�Ȥˤ���.
\section{����Ū������}
����ʬ
\begin{equation*}
I = \int^b_a f(x) dx
\end{equation*}
����ʬ���[a, b]��$N$��ʬ����
\begin{equation*}
h = \frac{b-a}{N}
\end{equation*}
�Ȥ���, $I$ ����
\begin{equation}
I_N = h \left[ \frac{1}{2} f(a) + \sum_{n=1}^{N-1} f(a+nh) + \frac{1}{2} f(b) \right]  \tag{1}
\end{equation}
�Ƕ�����褦�Ȥ����Τ����§�Ǥ���.  \\
$f(x)$ ������Ū�ʴؿ��ΤȤ��ˤ�, ���� $I_N -I$ ��Ǥ�դ� $p$ ���Ф���,
\begin{multline}
I_N - I = c_2 h^2 \left[ f'(b) - f'(a) \right] + c_4 h^4 \left[ f'''(b) - f'''(a) \right] \\ + �� + c_{2p} h^{2p} \left[ f^{(2p-1)} (b) - f^{(2p-1)} (a) \right] + O (h^{2p+2}) \tag{2}
\end{multline}
��ɽ�蘆��뤳�Ȥ�ʬ���äƤ���. ������$c_i$��$h$��$f$ �˴ط����ʤ�����Ǥ���.

\subsection{�����顼���ޥ��������θ���} 
�� (2) �ϥ����顼���ޥ��������θ����Ǥ���. �ʲ��Ǥ�, Ĺ��ľ���� ��������Ϥؤο��ء�Ϣ�ܡ֤��á����Ͳ��� ��3��פ򻲹ͤ˥����顼���ޥ��������
�θ�����Ƴ��. �ʤ���Ϣ�ܵ����� http://www.cis.twcu.ac.jp/~osada/rikei/rikei2008-7.pdf �ˤ� PDF �����Ǳ������뤳�Ȥ��Ǥ���.

{\bf ̿�� } \\
�ؿ�$f(x)$ �϶��$[a, b]$ �� $C^{2m+2}$ ��Ǥ���Ȥ���. ���λ�,
\begin{equation}
I_N -I = \sum_{k=1}^{m} \frac{B_{2k}}{(2k)! } h^{2k} \left[ f^{(2k-1)} (b) - f^{(2k-1)} (a) \right] + O(h^{2m+2}), \ \ (h \to + 0)
\end{equation}
������Ω��.
â��, $B_{i} (t) $�ϥ٥�̡���¿�༰
\footnote{
�٥�̡���¿�༰$B_{i} (t) $���������,
\begin{equation*}
B_n (t) = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} B_k t^{n-k}.
\end{equation*}
}, $B_i$ �ϥ٥�̡������Ǥ���. \\
����ξ����Ǥϥ٥�̡���¿�༰
, �٥�̡������Ȥ��$i=2$ �ξ��
\begin{align}
B_2 (t) &= t^2 - t + \frac{1}{6}  \\
B_2     &= \frac{1}{6}
\end{align}
���Ѥ���. �ޤ�, $x_j = a + jh$�Ǥ���.

{\bf ���� } \\
$j = 0, ..., n-1 \ : \ k = 1, ..., m+1$ ���Ф�, $I_{j,k}$ ��
\begin{equation}
I_{i,k} = \frac{1}{(2k)!} \int_0^h B_{2k} \left( \frac{t}{h} \right) f^{(2k)} (x_j + t) dt
\end{equation}
�Ȥ���. $k=1$ �ΤȤ� ��(1.2), (1.3) ���Ѥ����, $I_{j,1}$ ����ʬ��ʬ���Ѥ���,
\begin{equation}
\begin{split}
I_{j,1} &= \frac{1}{2!} \int_0^h \left( \frac{t^2}{h^2} - \frac{t}{h} + B_2 \right) f''(x_j + t)dt \\
        &= \frac{1}{2!} \biggl[ \big( \frac{t^2}{h^2} - \frac{t}{h} + B_2 \big) f'(x_j + t) \biggl]_0^h -\frac{1}{2!}  \int_0^h \left( \frac{2t}{h^2} - \frac{1}{h} \right) f'(x_j + t) dt \\
        &= \frac{B_2}{2!} [ f'(x_j + h) - f(x_j) ] - \frac{1}{2!} \biggl[ \big( \frac{2t}{h^2} - \frac{1}{h} \big) f(x_j + t) \biggl]_0^h + \frac{1}{2!} \int_0^h \frac{2}{h^2} f(x_j + t)dt \\
        &= \frac{B_2}{2!} [ f'(x_j + h) - f(x_j) ] - \frac{1}{2h} [f(x_{j+1}) + f(x_j)] + \frac{1}{h^2} \int_0^h f(x_j + t) dt  \\
        &= \frac{B_2}{2!} [ f'(x_j + h) - f(x_j) ] - \frac{1}{2h} [f(x_{j+1}) + f(x_j)] + \frac{1}{h^2} \int_{x_j}^{x_{j+1}} f(t) dt
\end{split}
\end{equation}
�Ȥʤ�. �� (1.5) ��$j=0, ..., n-1$ �ˤĤƲä����,
\begin{equation}
\sum_{j=0}^{n-1} I_{j,1} = \frac{B_2}{2!}[f'(b) - f'(a)] - \frac{1}{h^2} I_N + \frac{1}{h^2} I.
\end{equation}
$k=2, ..., m+1$ �ΤȤ�, �٥�̡���¿�༰������,
\begin{align}
B_k ' (t)  &= k B_{k-1}(t) \\
B_{2k} (1) &= B_{2k} (0) = B_{2k} \\
B_{2k-1} (1) &= B_{2k-1} (0) = 0
\end{align}
�����դ����,
\begin{equation}
\begin{split}
I_{j,k} &= \frac{1}{(2k)!} \biggl[ B_{2k} \big( \frac{t}{h} \big) f^{(2k-1)} (x_j + t) \biggl]_0^h - \frac{1}{(2k)!} \int_0^h \frac{1}{h} B_{2k} ' \big( \frac{t}{h} \big) f^{(2k-1) } (x_j + t)  dt \\
        &= \frac{1}{(2k)!} \biggl[ B_{2k} (1) f^{(2k-1)} (x_j + h) -B_{2k} (0) f^{(2k-1)} (x_j) \biggl] \\
        &- \frac{1}{(2k)!h} \int_0^h 2k B_{2k-1} \big( \frac{t}{h} \big) f^{(2k)} (x_j + t) dt \\
        &= \frac{B_{2k}}{(2k)!} \biggl[ f^{(2k-1)} (x_j+1) - f^{(2k-1)} (x_j) \biggl] 
+ \frac{1}{h^2} I_{j,k-1}
\end{split}
\end{equation}
��ä�, 
\begin{equation}
I_{j,k-1} = h^2 I_{j,k} \frac{B_{2k} h^2}{(2k)!} \biggl[f^{(2k-1)} (x_{j+1}) - f^{(2k-1)}(x_j) \biggl]
\end{equation}
�Ȥʤ�. �� (1.6), (1.11) ���,
\begin{equation}
I_N - I = \sum_{k=1}^{m+1} \frac{B_{2k} h^{2k}}{(2k)!} \biggl[ f^{(2k-1)} (b) - f^{(2k-1)} (a) \biggl] + R_{m+1},
\end{equation}
â��,
\begin{equation}
R_{m+1} = - h^{2m+2} \sum_{j=0}^{n-1} I_{j,m+1}
\end{equation}
��������. [0, 1] �ˤ�����$\displaystyle \lvert B_{2n} (t) \rvert \le \lvert B_{2n} \rvert $ ������Ω��\footnote{�����ϳ䰦} �Τ�,
\begin{equation}
R_{m+1} = - \frac{h^{2m+2}}{(2m+2)!} \int_0^h B_{2m+1} \big( \frac{t}{h}  \big) \sum_{j=0}^{n-1} f^{(2m+2)} (x_j + t)dt
\end{equation}
���, 
\begin{equation}
\lvert R_{m+1} \rvert \le \frac{h^{2m+2} \lvert B_{2m+2} \rvert }{(2m+2)!} \int_a^b \lvert f^{(2m+2)} (t) \rvert dt.
\end{equation}
$f^{(2m+2)} (x) $ �϶��$[a, b]$ ��Ϣ³������
\begin{equation}
R_{m+1} = O (h^{(2m+2)}), \ \ (h \to +0).
\end{equation}
�������ä�, 
\begin{equation}
I_N -I = \sum_{k=1}^{m} \frac{B_{2k}}{(2k)! } h^{2k} \left[ f^{(2k-1)} (b) - f^{(2k-1)} (a) \right] + O(h^{2m+2}), \ \ (h \to + 0).
\end{equation}
���������.

�����顼���ޥ��������θ�����Ȥ������§�θ������Ѥ�뤳�Ȥ��Ǥ���. ���η��򸫤�Ф狼��Ȥ���, ��ֿ�$N$ ���� (�����$h$��Ⱦʬ) �ˤ���ȸ������� 1/4 �ˤʤ�. ���λ��¤������Τ褯�狼��ʤ��ؿ�$f(x)$ ���Ф���, ���뤤�ϴݤ�������礭���θ������Ĥ��������Ȥ��ʤɤ�, ���§�����§�餷��Ư���Ƥ��뤫�ɤ������ǧ����Τ���Ω��. ������, �ݤ�����δ�������, ���ߤ�$N$���礭������Ф褤�Ȥ�����ΤǤϤʤ�. �ܤ����ϰ����ƥ�������3�� p.16 �ڡ����򻲾Ȥ��줿��.

����,���ʤ��$I_N$�����Ǥ˷׻�����Ƥ���Ȥ���$I_{2N}$��׻�����ˤ�, ���§$I_N$������§
\begin{equation}
J_N = h \sum_{n=1}^N f \biggl( a + \big( n - \frac{1}{2} \big) h \biggl)
\end{equation}
��ʿ�Ѥ�Ȥ�Ȥ褤. ���ξ�����, $N \to 2N$�ΤȤ�$\displaystyle h \to \frac{h}{2}$�Ȥʤ뤳�Ȥ�˺��ʤ���д�ñ�Ǥ���.

{\bf ���� } \\
\begin{equation}
\frac{I_N + J_N}{2} =I_{2N} = \frac{h}{2} \left[ \frac{1}{2} f(a) + \sum_{n=1}^{2N-1} f(a+ \frac{nh}{2}) + \frac{1}{2} f(b) \right]
\end{equation}
�򼨤�.
\begin{equation}
\begin{split}
I_N + J_N &= h \left[ \frac{1}{2} f(a) + \sum_{n=1}^{N-1} f(a+nh) + \sum_{n=1}^N f \biggl( a + \big( n - \frac{1}{2} \big) h \biggl) + \frac{1}{2} f(b) \right] \\
&= h \left[ \frac{1}{2} f(a) + \sum_{n=1}^{2N-1} f(a+ \frac{nh}{2}) + \frac{1}{2} f(b) \right]
\end{split} 
\end{equation}
�椨��,
\begin{equation*}
\frac{I_N + J_N}{2} =I_{2N} = \frac{h}{2} \left[ \frac{1}{2} f(a) + \sum_{n=1}^{2N-1} f(a+ \frac{nh}{2}) + \frac{1}{2} f(b) \right]
\end{equation*}
���������.

\end{document}