\documentclass[a4j,12pt]{jreport}
\usepackage{Dennou6}
\usepackage{times}
\usepackage{ascmac}

\Dauthor{���� �O��}
\Ddate{2010 �N 9 �� 30 ��}% ���t�̎w��
\Dtitle{GFD���[�N�m�[�g}      % ����w�b�_�[�w��
\Dfile{2010-0930-ogihara.tex}
\markright{��8�� �Δ����������̐��l��@�̊�b1} % �E��w�b�_�̎w��

\pagenumbering{roman}
\setcounter{page}{1}       
\setcounter{chapter}{8}     
\setcounter{section}{0}     
\setcounter{subsection}{0}  
\setcounter{equation}{0}   
\setcounter{figure}{0}      
\setlength{\parskip}{1em}   

%\makeatletter  % �Ē�`����ۂɕK�v. documentclass �̌��ɏ����K�v����
	       % ��. 
%\renewcommand{\chapter}{%
%  \thispagestyle{jpl@in}%
%  \global\@topnum\z@
%  \@afterindenttrue
%  \secdef\@chapter\@schapter}
 % chapter �̒��O�ŉ��s���Ȃ��悤�ɐݒ�. 
%\makeatother

\def\thesecion{\arabic{chapter}.\arabic{section}}
\def\thesection{\arabic{chapter}.\arabic{section}}
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}}
\def\thepage{\arabic{page}} % ����
%\def\thepage{\roman{page}} % ���[�}����
\def\thetable{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{table}}
\def\thefootnote{\arabic{footnote} )}
\def\thefigure{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{figure}}




\begin{document}
\chapter*{��8�� �Δ����������̐��l��@�̊�b1 \protect{\footnotemark} }

\footnotetext{�{�͂�F.Megingaer and A.Arakawa(1976)��%��C���f���ɂ����鐔�l��@(NUMERICAL METHODS USED IN ATMOSPHERIC MODELS)��
��1��% ����: �i�q�_�ɂ������ʓI���ӎ���(
INTRODUCTION; GENERAL REMARKS ABOUT GRID POINT METHODS%)
�̓��e���܂Ƃ߂����̂ł���. }

\section{���j�I�o��}
\subsection*{���l�V�C�\��̗��j}
\begin{description}
  \item [�EWilhelm Bjerknes(1904)]�@\\
     ��C�^���̎x�z��������ϕ����邱�Ƃŗ\���ł��邱�Ƃ��ŏ��Ɏw�E.  

  \item [�ERichardson(1922)]�@\\
     ���߂Đ��l�V�C�\������s. ������, �������ʂ͖����ł��Ȃ�����
       \footnote{6��4��l�Ōv�Z���Ȃ��ƓV�C�͗\��ł��Ȃ��Ǝw�E����}. 

  \item [�ECourant, Friedeichs and Lewy(1928)]�@\\
     �ڗ��������𐔒l�I�ɉ����ꍇ�̈��萫�������\footnote{�����CFL�����Ƃ���.}.

  \item [�ERossby(1930�N��㔼)]�@\\
     ���X�r�[�g���̓��o, �܂���C�̑�K�͉^�����ߎ��I�ɋL�q����ɂ͉Q�x�������������Ώ\���ł��邱�Ƃ��w�E.   

  \item [�ECharney, Fjo $\hspace{-.73em}/$rtoft and von Neumann(1940�N��㔼)]�@\\
     ENIAC(Electronic Numerical Integrator and Computer)\footnote{1945�N�ɓo�ꂵ�����E���̓d�q�v�Z�@}�ɂ��, �Q�x������������
     ���p�I�Ȑ��l�V�C�\��ɐ���. 
  \item [�E���̌�]�@\\
     ��b�������̓v���~�e�B�u������(primitive equation)
\footnote{��K�͂ȑ�C�̉^�����L�q�������`�����������Q. }, ����ɕ����ߒ�(����, �~����)�𓱓��������̂�����. ���ۂ̌v�Z�͉Q�x�������Ɣ��U��������p���čs��. 
\end{description}
\subsection*{���f���̘b}
��C��z���f��(General Circulation Model : GCM)�̌v�Z�͓����Î~��C�����������Ƃ��邱�Ƃ�����. 
����ɂ��, ���f���ŗp���Ă��鐔�l��@�ƕ����ߒ��̐������悭�m�邱�Ƃ��ł���. 


���ۂ�GCM�ȊO�̑�C���f�������邪����͑�C�̑�K�͉^���̗\��, �܂��̓V�~�����[�V�����̂��߂̎�@�ɏœ_��u��.  
\section{�^���������̐��l��@}
�^���������̐��l��@�͎�Ɋi�q�_�@, ���O�����W���@, �X�y�N�g���@��3��ނ�����.
\subsection{�i�q�_�@(Grid point method)} 
�Ώۗ̈�����炩���ߗL���̓_(�i�q�_\footnote{�i�q�_�̓��b�V��(mesh)�Ƃ��Ă�})�ɕ�����, �i�q�_��ɏ]���ϐ����`����. 

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm,keepaspectratio,clip]{grid.eps}  
\caption{1����($0\leq x\leq L$, $L = N\Delta x$�̂Ƃ�)}
\end{center}
\end{figure}

�i�q�_�͋�ԂɌŒ�. ����ăI�C���[�I���_�ɗ����Ď�������\footnote{�܂�Ɨ��ϐ��͍��W�Ǝ���}. 

\subsection{���O�����W���@}
�X�̗��̗��q�ɒ��ڂ�\footnote{�܂�Ɨ��ϐ��͎��Ԃƃ��x��}, ���̈ʒu�Ɖ^���ʂ��v�Z������@. 
���̂������Ƃ����̊i�q�����Ȃ����Ȃ��Ă͂����Ȃ��̂Ŏ�Ԃ�������v�Z�����.


���O�����W���@�̌��_�����P�������@�Ƃ��ăZ�~���O�����W���@������.
\subsubsection*{�Z�~���O�����W���@}
�i�q�_����ԂɌŒ肵$x = j\Delta x$, $t = n\Delta t$�ł�$u$�̒l$u^n_j$�����߂���@. ���̂Ƃ�
$u^n_j$�̓_�̏㗬�ɂ���_$u^{n-1}_j$�̏d�݂�t�����a�Ƃ��ĕ\��.
%\begin{equation*}
%u^n_j = \sum_{�㗬�̓_}\propto u^{n-1}_j
%\end{equation*}

���݂ł͐����C�ʂȂǂ̃X�J���[�ʂ̈ڗ��v�Z�ŕW���̕��@. %�Z�~���O�����W�F�@�Ƃ͈ڗ����Ƀ��O�����W�F�@, ����ȊO�̍��ɃI�C���[�@��p�����@

\subsection{�X�y�N�g���@}
�]���ϐ�����ԕ����ɒ����֐���p���������œW�J��, �W�J�W���̎��Ԕ��W���������@. ���̂Ƃ�, ���̕Δ�����������, 
�ؒf�g��
%\footnote{���l���̉𑜓x�����߂�萔�ŕ������̐߂̐�}
�̐��̏�����������̏W�܂�ɂȂ�.
��Ƃ���$0\leq x < L$�Ŏ������E�̏ꍇ���l�����, $u(x,t)$���]���W��$\hat{u}_n(t)$�ƃt�[���G�����œW�J����.
\begin{eqnarray*}
u(x,t) = \sum ^N_{n = 0}\hat{u}_n(t)e^{-i\frac{2\pi nx}{L}}
\end{eqnarray*}
$N$��ؒf�g���Ƃ���]���W��$\hat{u}_n(t)(n = 0,\cdot\cdot\cdot N)$�̎��Ԕ��W������. 

\setcounter{equation}{0}   
\setcounter{figure}{0}  

\section{�i�q�_�@�̊�b}
��Ԋi�q�_��ɒ�`���ꂽ�]���ϐ��Ɋւ��������������. ����ĕϐ��͎��ԋ�ԕ�����
���U�I�ɕ\������Ĕ����͍����ŕ\�����. ���̂��ߗL�������@(finite difference method)�Ƃ��Ă΂��.

\subsection{�ϐ��̒�`}
�Ɨ��ϐ���$x$�Ƃ���֐�
\begin{eqnarray*}
u = u(x)
\end{eqnarray*}
���l����. 
$u(x)$�͗̈�$R(0\leq x \leq L)$�Œ�`�����Ƃ���. 


$R$�����̊Ԋu$\Delta x$\footnote{$\Delta x$�͊i�q�Ԋu(grid interval �܂��� grid length)�ƌĂ�.
}�ŕ�����, �i�q�_���`����. 

$R$��$J$�ɕ��������, $u(x)$��, $x = j\Delta x(j = 0,1,\cdot\cdot\cdot , J)$��̓_�ŗ^������
\begin{eqnarray*}
u_j = u(j\Delta x)\hspace{1em}(j = 0,1,\cdot\cdot\cdot , J)
\end{eqnarray*}
�ƂȂ�. 

\subsection{�L�������ɔ�����񗎂�}
�����ߎ��������ł����Ă����U�����ꂽ$u(j\Delta x)$�͌��̘A���ʂł���$u(x)$�ɔ�ׂ�ƕ\���\�ȏ�񂪌���. �����L���g���Őؒf�����t�[���G������p���Ď���. 
$0\leq x \leq L$�̂Ƃ�$u(x)$�̃t�[���G�����W�J��
\begin{eqnarray*}
u(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\frac{J}{2}}_{n = 1}\left(a_n\cos{\frac{2\pi n}{L}x} + b_n\sin{\frac{2\pi n}{L}x}\right). 
\end{eqnarray*}
�ؒf�g����$\frac{J}{2}$�ɂȂ�̂͌��̊i�q�_��̕ϐ�$u_j$�̐���$J + 1$�̂��߂ł���\footnote{$a_n$��$\frac{J}{2}$��, $b_n$��$\frac{J}{2}$��, $a_0$��1�̍��v
$J + 1$�̏��ɂȂ�. �����, �ؒf�g����$\frac{J}{2}$�ȏ����Ă����̏������������̌v�Z�����Ă��܂����ƂɂȂ�. �܂�$N > \frac{J}{2}$�͈Ӗ����Ȃ�. }.
���̂Ƃ�, �����Ƃ��g���̒Z��������$n = \frac{J}{2}$�̐����Ƃ��ė^������. ���̂Ƃ�, �g��$\lambda $��
\begin{eqnarray*}
	\lambda 
	&=& \frac{L}{n}\\
	&=& \frac{J\Delta x}{\frac{J}{2}}\\
	&=& 2\Delta x. 
\end{eqnarray*}
��������Z���g���̐����͕\���ł��Ȃ�%\footnote{����ȏ�i�q�_�̐��𑝂₵�Ă���ʂł��Ȃ�}
. 
\subsection{�����̍����\���Ƃ��̐��x}
$x = j\Delta x$�ɂ�����$u$�̔���$\displaystyle{\left.\DD{u}{x}\right| _{j}}$
���l����. ����������ŕ\���Ƃ�, ���̕��@�͕�������
\begin{description}
	\item [�E�O������]�@\\
		$\displaystyle{\left.\DD{u}{x}\right|_j \approx \frac{u_{j + 1} - u_j}{\Delta x}}$�@�@(8.3.1)

	\item [�E���S����]�@\\
		$\displaystyle{\left.\DD{u}{x}\right|_j \approx \frac{u_{j + 1} - u_{j-1}}{2\Delta x}}$

	\item [�E�������]�@\\
		$\displaystyle{\left.\DD{u}{x}\right|_j \approx \frac{u_{j} - u_{j-1}}{\Delta x}}$�@�@
\end{description}
�ǂ��$\Delta x \rightarrow 0$�̋Ɍ���$\displaystyle{\left.\DD{u}{x}\right| _{j}}$�Ɉ�v����. 

�����̐��x�̓e�C���[�W�J��p���Ē��ׂ邱�Ƃ��ł���. ��Ƃ���(8.3.1)�̏ꍇ���l����. \\
$u_{j + 1}$��$x = j\Delta x$�̎���Ńe�C���[�W�J����. 

\begin{eqnarray*}
	u_{j + 1}
	&=& u((j + 1)\Delta x)\\
	&=& u(j\Delta x) + \left(\DD{u}{x} \right)_j \Delta x + \frac{1}{2}\left(\frac{d^2u}{dx^2}\right)_j\left(\Delta x\right)^2 + \cdot\cdot\cdot. 
\end{eqnarray*}
������$u_j= u(j\Delta x)$�Ȃ̂ŉE�ӑ�1�������ӂɈڍs��, ���ӂ�$\Delta x$�Ŋ����
\begin{eqnarray*}
	\frac{u_{j + 1} - u_j}{\Delta x}
	&=& \left(\DD{u}{x} \right)_j + \frac{1}{2}\left(\frac{d^2u}{dx^2}\right)_j\Delta x + \cdot\cdot\cdot.
\end{eqnarray*}
�����ŉE�ӑ�1���͐^�̒l�ƂȂ�, �^�̒l��$\displaystyle{\frac{u_{j + 1} - u_j}{\Delta x}}$�Ƃ̌덷��$\epsilon $�Ƃ����,
\begin{eqnarray*}
\epsilon = \frac{1}{2}\left(\frac{d^2u}{dx^2}\right)_j\Delta x + \frac{1}{3!}\left(\frac{d^3u}{dx^3}\right)_j\left(\Delta x\right)^2 + \cdot\cdot\cdot.
\end{eqnarray*}
����$\epsilon$��Ő؂�덷�Ƃ���. 

�Ő؂�덷��}��ړx�Ƃ��ċߎ����x�̎���(order of accuracy)������. �����$\epsilon$�Ɋ܂܂��$\Delta x$�Ɋւ���Œ᎟��
���̎������w��. (8.3.1)�̏ꍇ$\epsilon $��$\Delta x$��1���̍�������̂�, ���̐��x��1���ł���,
\begin{eqnarray*}
	\epsilon = O(\Delta x)
\end{eqnarray*}
�ƕ\��. 
\setcounter{equation}{0}   
\setcounter{figure}{0}  

\section{�L�������@}
���`��1���ڗ��������ɑΏۂ��i��.$u = u(x,t)$, $c > 0$�̂Ƃ�
\begin{eqnarray}
	\DP{u}{t} + c\DP{u}{x} = 0
	\Deqlab{4.1}
\end{eqnarray}
���̕Δ����������̉�͉��͎��̂悤�ɋ��߂���.

����������$u(x,0) = F(x)$�Ƃ���.
$\xi \equiv x - ct$�Ƃ����Ƃ�, �Ɨ��ϐ���$x$, $t$����$\xi $��$t$�ɕϊ�����.
\begin{eqnarray*}
	u(x,t) = U(\xi ,t)
\end{eqnarray*}
$u$��$t$�ŕΔ��������
\begin{equation}
	\DP{u}{t} = \DP{U}{\xi }\DP{\xi }{t} + \DP{U}{t}\DP{t}{t} = -c\DP{U}{\xi } + \DP{U}{t}.
	\Deqlab{4.2} 
\end{equation}
$u$��$x$�ŕΔ��������
\begin{equation}
	\DP{u}{x} = \DP{U}{\xi }\DP{\xi }{x} = \DP{U}{\xi }.
	\Deqlab{4.3}
\end{equation}
\Deqref{4.2}��\Deqref{4.3}��\Deqref{4.1}�ɑ������.
\begin{eqnarray*}
		\DP{u}{t} + c\DP{u}{x}
		&=& -c\DP{U}{\xi } + \DP{U}{t} + c\DP{U}{\xi }\\
		&=& \DP{U}{t}\\
		&=& 0
\end{eqnarray*}
�����$\displaystyle{\DP{U}{t} = 0}$�������Ηǂ�. 
\begin{eqnarray*}
	\DP{U}{t} = 0
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	U(\xi ,t) = f(\xi).
\end{eqnarray*}
�����$u(x,t) = f(x -ct)$.�������������Ă͂߂�
\begin{equation}
u(x,t) = F(x - ct).
\Deqlab{4.4}
\end{equation}
$x -ct = x_0(const)$�̂Ƃ�$u$�����ɂȂ�. $(x,t$���W�n�ɂ�����$x-ct=x_0$�̐����$(x,t)$�͓���$u(x,t)$�̒l������, ���̐�������Ȑ��Ƃ���.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm,keepaspectratio,clip]{tokusei.eps}  
\caption{$x-ct=x_0$�̂Ƃ��̓����Ȑ�}
\end{center}
\end{figure}

\Deqref{4.1}����ԕ����Ɍ������\footnote{$c>0$�Ȃ̂ŏ㗬�����Ƃ�����}, ���ԕ����ɑO��������p���č���������.

$x=j\Delta x$�ɂ�����
\begin{equation}
\frac{u^{n+1}_{j}-u^n_j}{\Delta t} + c\frac{u^{n}_j - u^n_{j - 1}}{\Delta x} = 0.
\Deqlab{4.5}
\end{equation}
$\Delta t$, $\Delta x \rightarrow 0$�ō����������̎��Ɉ�v����Ƃ�, �������̉�(���l��)���^�̉��Ɉ�v���邾�낤�ƍl����. 

���l���̐��x��$u^n_j - u(j\Delta x, n\Delta t)$�ŗ^������. 
���l���̐��x�͗\���ł��Ȃ����������̐��x�͕]���ł���.

�Ő؂�덷��
\begin{eqnarray*}
	\epsilon 
	&=& \frac{1}{2}\left(\frac{d^2u}{dx^2}\right)_j\Delta t + \frac{1}{3!}\left(\frac{d^3u}{dx^3}\right)_j\left(\Delta t\right)^2 + \cdot\cdot\cdot \\
	& & -c \left(\frac{1}{2}\left(\frac{d^2u}{dx^2}\right)_j\Delta x + \frac{1}{3!}\left(\frac{d^3u}{dx^3}\right)_j\left(\Delta x\right)^2 + \cdot\cdot\cdot\right).
\end{eqnarray*}
�����, \Deqref{4.5}�̐��x��
\begin{eqnarray*}
\epsilon = O(\Delta t, \Delta x)
\end{eqnarray*}
�Ŏ��ԋ�ԂƂ���1�����x�ł���\footnote{��ʓI�ɂ͎��ԍ����̐��x�Ƌ�ԍ����̐��x�͈�v���Ȃ�}.

$\Delta t$, $\Delta x \rightarrow 0$�ō����������̎��Ɉ�v����Ƃ�, ���̍������͓K����(consistency)�����Ƃ���.

\setcounter{equation}{0}   
\setcounter{figure}{0}  

\section{������}
�������Ƃ�$\Delta t$, $\Delta x \rightarrow 0$�̂Ƃ�, ���l�����^�̉��Ɉ�v���邱�Ƃł���
\footnote{�����ɂ�$n\Delta t$���Œ肵,$\Delta t$, $\Delta x \rightarrow 0$�̂Ƃ�$u^n_j -u(j\Delta x, n\Delta t) \rightarrow 0$�ƂȂ邱��. �K�����������������瓾��ꂽ���l���������������Ƃ͌���Ȃ�.}.


��Ƃ���\Deqref{4.1}���l����.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm,keepaspectratio,clip]{tokusei2.eps}  
\caption{$x-ct = 0$��$c\Delta t \leq \Delta x$�̂Ƃ��̓����Ȑ�}
\end{center}
\end{figure}

$x-ct = 0$, $u(j\Delta x,n\Delta t)$�̓_��A�Ƃ���Ɛ}(8.5.1)�̂悤�ɂȂ�. 
�A���n�̎��ɂ����ē_A�̉��͌��_�̉��Ɠ����ł���. �����n�̎��ɂ����Ă͓_A�̉���%���_�̉��ŕ\����Ȃ�
�Ԑ���艺���̊i�q�_��̒l�ŕ\�������.
�Ԑ���艺���̗̈���ˑ��̈�(domain of dependence)�ƌĂ�. $\Delta t$��$\Delta x$�̔�̒l���ς��Ȃ�����ˑ��̈�͕ω����Ȃ�.

���������͈ˑ��̈悪�^�̉��̓����Ȑ����܂ނ��Ƃł���. 
\begin{eqnarray*}
	\frac{\Delta t}{\Delta x} \leq \frac{1}{c}
\end{eqnarray*}
\begin{equation}
c\Delta t \leq \Delta x
\Deqlab{5.1}
\end{equation}
\Deqref{5.1}��CFL�����Ƃ���.

\setcounter{equation}{0}   
\setcounter{figure}{0}  

\section{���萫(stability)}

$n \rightarrow \infty $�Ő��l��$u(j\Delta x , n\Delta t)$���L�E�ȂƂ�, ���̍������͈���ł���Ƃ���
\footnote{���m�ɂ�$\Delta x$, $\Delta t$���Œ肵, $n \rightarrow \infty$�Ƃ����Ƃ��^�̉��Ɛ��l���Ƃ̌덷$u^n_j - u(j\Delta x , n\Delta t)$���L�E�ł���Ƃ��Ɉ���ł���Ƃ���}.

�������̈��萫�̔���@�ɂ�3�ʂ�̕��@������.  

\subsection{���ږ@(direct method)}
�^�̉��͗L�E�ł��邱�Ƃ�m���Ă���Ƃ���. ���̂Ƃ����l���̐�Βl�̍ő�l���L�E�ł��邩�ǂ����𒲂ׂ�. 

\Deqref{4.5}��ό`����. 
\begin{eqnarray*}
	\frac{u^{n+1}_j - u^n_j}{\Delta t} + c\frac{u^n_j - u^n_{j - 1}}{\Delta x} = 0\\
	u^{n+1}_j - u^n_j + \frac{c\Delta t}{\Delta x}(u^n_j - u^n_{j - 1}) = 0\\
	u^{n+1}_j =\left(1 - \frac{c\Delta t}{\Delta x}\right) u^n_j + \frac{c\Delta t}{\Delta x}u^n_{j - 1}. 
\end{eqnarray*}
������$\frac{c\Delta t}{\Delta x} = \mu$�Ƃ�����
\begin{equation}
	u^{n+1}_j =\left(1 - \mu\right)u^n_j + \mu u^n_{j - 1}.
	\Deqlab{6.1}
\end{equation}
�������̏�������
\begin{eqnarray*}
	\frac{\Delta t}{\Delta x} \leq \frac{1}{c}\\
	c\frac{\Delta t}{\Delta x} \leq 1\\
	1 - \mu \geq 0, 
\end{eqnarray*}
����Ĉ��萫������
\begin{equation}
	\left|u^{n + 1}_j\right| \leq(1 -\mu )\left|u^n_j \right| + \mu \left|u^n_{j - 1}\right|. 
	\Deqlab{6.2}
\end{equation}
$t = (n + 1)\Delta t$�ł�$\left| u^{n + 1}_j \right|$�̍ő�l��$Max _{(j)} \left| u^{n + 1} \right|$�Ƃ�, $t = (n\Delta t)$
�ł�$\left|u^n_j\right|$�̍ő�l��$Max _{(j)} \left|u^n_j\right|$�Ƃ���. 
���̂Ƃ����萫����\Deqref{6.2}��
\begin{eqnarray*}
	Max _{(j)}\left| u^{n + 1}_j \right|
	& \leq & Max _{(j)}\left| (1 - \mu ) u^n_j + \mu u^n_{j - 1}\right| \\
	& \leq & (1 - \mu )Max _{(j)}\left|u^n_j\right| + \mu Max _{(j)}\left| u^n_{j - 1} \right| \\
	& = & Max _{(j)}\left| u^n_j \right|
\end{eqnarray*}
�ƂȂ�
\footnote{��3�s�ڂ̕ό`�ł�$Max _{(j)}\left| u^n_{j} \right|$��$u$�����������ł̍ő�l�Ȃ̂�$Max _{(j)}\left| u^n_{j - 1} \right| = Max _{(j)}\left| u^n_{j} \right|$
�ƂȂ邱�Ƃ�p����. }.

���ږ@�͔��ɒP���Ȕ���@�ł���. ������, ���ۂɓK�p�ł����͌�����. 

\subsection{�G�l���M�[�@(energy method)}
���l��$u^n_j$��2��̘a$\displaystyle{\sum _j(u^n_j)^2}$���L�E�ł��邩�𒲂ׂ���@
\footnote{�����w�ɉ��p�����ꍇ, $(u)^2$�̓G�l���M�[�ɔ�Ⴗ��ʂȂ̂ŃG�l���M�[�@�ƌĂ΂��. }. 

\Deqref{6.1}����$\displaystyle{\sum _j(u^{n+1}_j)^2}$���v�Z����.
\begin{eqnarray*}
	(u^{n+1}_j)^2 = (1 - \mu )^2(u^n_j)^2 + \mu ^2(u^n_{j-1})^2 + 2(1 - \mu )\mu u^n_ju^n_{j - 1}. 
\end{eqnarray*}
$j$�ɂ��Ęa���Ƃ�. 
\begin{equation}
	\sum _j(u^{n+1}_j)^2 = \sum _j[ (1 - \mu )^2(u^n_j)^2 + \mu ^2(u^n_{j-1})^2 + 2(1 - \mu )\mu u^n_ju^n_{j - 1}]. 
	\Deqlab{6.3}
\end{equation}
�����Ŏ������E�����Ƃ����$u^n_{-1} = u^n_J$�ƂȂ�̂�\Deqref{6.3}��
\begin{eqnarray}
	\sum _j(u^{n}_{j-1})^2
	&=& (u^{n}_{-1})^2 + (u^{n}_{0})^2 + (u^{n}_{2})^2 + \cdot\cdot\cdot + (u^{n}_{J - 1})^2 \nonumber\\
	&=& (u^{n}_{J})^2 + (u^{n}_{0})^2 + (u^{n}_{2})^2 + \cdot\cdot\cdot + (u^{n}_{J - 1})^2 \nonumber\\
	&=& \sum _j(u^n_j)^2
	\Deqlab{6.4}
\end{eqnarray}
����ɃV�����@���c�̕s����
\footnote{
	\begin{eqnarray*}
		\sum ab \leq \sqrt{\sum a^2}\sqrt{\sum b^2}
	\end{eqnarray*}}
��p�����
\begin{eqnarray}
	\sum u^n_ju^n_{j-1}
	&\leq & \sqrt{\sum(u^n_j)^2}\sqrt{\sum (u^n_{j - 1})^2}\nonumber\\
	&=& \sum _j(u^n_j)^2
	\Deqlab{6.5}. 
\end{eqnarray}
�܂�, ����������$1 - \mu \geq 0$�łȂ���΂Ȃ�Ȃ�. ���̂Ƃ�, \Deqref{6.3}����
\begin{eqnarray*}
	\sum _j(u^{n + 1}_j)^2
	& = & \sum _j[ (1 - \mu )^2(u^n_j)^2 + \mu ^2(u^n_{j-1})^2 + 2(1 - \mu )\mu u^n_ju^n_{j - 1}]\\
	& \leq & \sum _j[ (1 - \mu )^2(u^n_j)^2 + \mu ^2(u^n_{j})^2 + 2(1 - \mu )\mu (u^n_j)^2]\\
	& = & [ (1 - \mu )^2 + \mu ^2 + 2(1 - \mu )\mu ]\sum _j(u^n_j)^2\\
	& = & \sum _j(u^n_j)^2
\end{eqnarray*}
�ł���. %���̎��̓G�l���M�[����肩, ���邢�͎��ԂƂƂ��Ɍ����čs�����Ƃ������Ă���.

\subsection{�t�H���m�C�}���@(Von Neumann's method)}

�������ł̐��l�����t�[���G�����ƓW�J�W���œW�J��, �W�J�W�����L�E�ł��邩�ǂ����𒲂ׂ���@.
���ږ@, �G�l���M�[�@�ƈقȂ���ۂɐ��l�v�Z�����Ȃ��Ă����萫���c�_�ł�����@�Ȃ̂ōł��悭�p��������@�ł���.

������₷�����邽�߂Ɉꎟ�����`�ڗ����������ɂƂ�. 

�A���n�̏ꍇ�ł͈ꎟ�����`�ڗ���������\Deqref{4.1}�ƂȂ�
\footnote{\Deqref{4.1}���ċL����
	\begin{eqnarray*}
		\DP{u}{t} + c\DP{u}{x} = 0
	\end{eqnarray*}
}
. ������$k$��g���Ƃ���$u(x, t)$����ԕ����Ƀt�[���G�����W�J�����
\begin{eqnarray*}
	u(x, t) = Re[U(t)e^{ikx}]. 
\end{eqnarray*}
�W�J�W��$U(t)$��
\begin{eqnarray*}
	\DP{U}{t} + ikcU = 0
\end{eqnarray*}
�𖞂���. ����
\begin{eqnarray*}
	U(t) = U(0)e^{-ikct}.
\end{eqnarray*}
�]����
\begin{equation}
	u(x, t) = Re[U(0)e^{ik(x - ct)}].
	\Deqlab{6.6}
\end{equation}
���ɍ������̏ꍇ���l����. �e�i�q�_��̗\��ϐ�$u^n_j$����ԕ����Ƀt�[���G�����W�J�����
\begin{equation}
	u^n_j = Re[U^{(n)}e^{ikj\Delta x}].
	\Deqlab{6.7}
\end{equation}
\Deqref{6.7}���ꎟ�����`�ڗ��������������ߎ�������\Deqref{4.5}�֑������
\footnote{\Deqref{4.5}���ċL����
	\begin{eqnarray*}
		\frac{u^{n+1}_{j}-u^n_j}{\Delta t} + c\frac{u^{n}_j - u^n_{j - 1}}{\Delta x} = 0
	\end{eqnarray*}
}.
\begin{eqnarray*}
	\frac{U^{(n+1)} - U^{(n)}}{\Delta t}e^{ikj\Delta x} + c\frac{U^{(n)}}{\Delta x}(e^{ikj\Delta x} - e^{ik(j - 1)\Delta x}) = 0\\
	\frac{U^{(n+1)} - U^{(n)}}{\Delta t} + c\frac{U^{(n)}}{\Delta x}(1 - e^{-ik\Delta x}) = 0.
\end{eqnarray*}
$U^{(n + 1)}$�ɂ��ĉ�����
\begin{eqnarray}
	U^{(n + 1)} 
	&=& \left(1 - \frac{c\Delta t}{\Delta x}\right) U^{(n)} + \frac{c\Delta t}{\Delta x}U^{(n)}e^{-ik\Delta x}\nonumber\\
	&=& (1 - \mu) U^{(n)} + \mu U e^{-ik\Delta x}.
	\Deqlab{6.8}
\end{eqnarray}
������$U^{(n)}$��$n \rightarrow \infty $�̋�����m�邽�߂ɑ����W��(amplification factor)$\lambda $�𓱓������̂悤�ɒ�`����. 
\begin{equation}
	\lambda \equiv \frac{U^{(n + 1)}}{U^{(n)}}.
	\Deqlab{6.9}
\end{equation}
\Deqref{6.9}���
\begin{eqnarray*}
\left|U^{(n + 1)}\right|
	& = & \left| \lambda \right|\left|U^{(n)}\right|. 
\end{eqnarray*}
�E�ӂ�W�J�����
\begin{eqnarray*}
	\left| \lambda \right|\left|U^{(n)}\right|
	& = & \left| \lambda \right|\left| \lambda \right| \left|U^{(n - 1)}\right| \\
	& = & \left| \lambda \right|\left| \lambda \right|\left| \lambda \right| \cdot\cdot\cdot \left|U^{(1)}\right| \\
	& = & \left| \lambda \right|^{n + 1}\left|U^{(0)}\right| 	
\end{eqnarray*}
���ӂ�W�J�����
\begin{eqnarray*}
	\left|U^{(n + 1)}\right|
	& = & \left| \lambda \right|\left|U^{(n)}\right|. 
\end{eqnarray*}
�]����
\begin{eqnarray*}
	\left|U^{(n)}\right| 
	& = & \left| \lambda \right|^{n}\left|U^{(0)}\right|.
\end{eqnarray*}
���萫�̏�����$B$���Ƃ���L���̒l�̂Ƃ��S�Ă�$k$�ɑ΂���
\begin{eqnarray*}
	\left|U^{(n)}\right| = \left| \lambda \right|^{n}\left|U^{(0)}\right| < B.
\end{eqnarray*}
�����
\begin{eqnarray*}
	\left| \lambda \right|^{n} < \frac{B}{\left|U^{(0)}\right|}.
\end{eqnarray*}
�ΐ����Ƃ��ĉE�ӂ�$B^{\prime }$�ƒ�`�����
\begin{eqnarray*}
	n\ln{\left| \lambda \right|} < \ln{\frac{B}{\left|U^{(0)}\right|}} \equiv B^{\prime }.
\end{eqnarray*}
����$t$��$t = n\Delta t$�ƕ\�����̂�
\begin{equation}
	\ln{\left| \lambda \right|} < \frac{B^{\prime }}{t}\Delta t.
	\Deqlab{6.10}
\end{equation}
�����ŗL�����ԂŐ��l�����L�E�ƂȂ�������l����. ���̂Ƃ�\Deqref{6.10}��
\begin{eqnarray*}
	\ln{\left| \lambda \right|} \leq O(\Delta t).
\end{eqnarray*}
�����$\lambda $�͎��̂悤�ɍĒ�`�ł���Ƃ���\footnote{��������͍̂��X1���x���낤�ƍl����}.
\begin{eqnarray*}
	\lambda \equiv 1 + \delta.
\end{eqnarray*}
$\delta$�������ʂ̂Ƃ�$\ln{(1 + \delta )}$��$\delta = 0$�̎���œW�J�����
\begin{eqnarray*}
	\ln{(1 + \delta )}
	&=& \ln{(1)} + \delta - \frac{1}{2}\delta ^2 + \frac{1}{3}\delta ^3 + \cdot\cdot\cdot \\
	&\sim& \delta
\end{eqnarray*}
�����
\begin{eqnarray*}
	\delta \leq O(\Delta t).
\end{eqnarray*}
�܂���
\begin{equation}
	\left| \lambda \right| \leq 1 + O(\Delta t).
	\Deqlab{6.11}
\end{equation}
\Deqref{6.11}�̏����͐��l�����������Ǝw���I�ɑ������邱�Ƃ�����. ������, �����I�ɂ͂��̂悤�ȉ���
���e����Ȃ�. �����\Deqref{6.11}�̑����
\begin{equation}
	\left| \lambda \right| \leq 1
	\Deqlab{6.12}
\end{equation}
�����萫�̏����Ƃ���
\footnote{
	$U^{(n + 1)}$�̑O������������
	\begin{eqnarray*}
		\frac{U^{(n + 1)} - U^{(n)}}{\Delta t} \approx \left.\DD{U}{t} \right| _n \\
		U^{(n + 1)} \approx U^{(n)} + \left.\DD{U}{t} \right| _n\Delta t
	\end{eqnarray*}
	������\Deqref{6.9}���
	\begin{eqnarray*}
		\lambda U^{(n)} - U^{(n)} \approx \left.\DD{U}{t} \right| _n\Delta t\\
		\left. \DD{U}{t} \right| _n \approx \frac{(\lambda - 1)}{\Delta t}U^{(n)}
	\end{eqnarray*}
	�����������
	\begin{eqnarray*}
		U^{(n)} \approx U^{(0)}e^{\frac{\lambda - 1}{\Delta t}}
	\end{eqnarray*}
	������$\lambda = 1 + O(\Delta t)$�Ƃ����
	\begin{eqnarray*}
		U^{(n)} = U^{(0)}e^{\frac{O(\Delta t)}{\Delta t}}
	\end{eqnarray*}
	�����$\displaystyle{\frac{O(\Delta t)}{\Delta t} > 1}$�̂Ƃ��Ɏw���I�ɑ������Ă��܂�. 
	�m���Ɍ������邽�߂ɂ�
	\begin{eqnarray*}
		\frac{\lambda - 1}{\Delta t} \leq 0 \\
		\lambda - 1 \leq 0 \\
		\lambda \leq 0
	\end{eqnarray*}
	�̕K�v������. �����$\displaystyle{\left| \lambda \right| \leq 1}$.
}.���萫�̏������o���̂Ŏ��ۂ�\Deqref{6.8}�ł�$\lambda $�����߂�.
\Deqref{6.8}���ċL�����
\begin{eqnarray*}
	U^{(n + 1)} 
	&=& (1 - \mu) U^{(n)} + \mu U e^{-ik\Delta x}.
\end{eqnarray*}
������$U^{(n + 1)} = \lambda U^{(n)}$�Ƃ����
\begin{eqnarray}
	\lambda 
	&=& 1 - \mu + \mu e^{-ikx \Delta x}\nonumber\\
	&=& 1 + \mu(e^{-ik\Delta x} - 1)
	\Deqlab{6.13}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
	\left| \lambda \right|^2 = \lambda \cdot \lambda ^{*}
	&=& (1 + \mu (e^{-ik\Delta x} -1))(1 + \mu (e^{ik\Delta x} -1))\nonumber\\
	&=& 1 + \mu (e^{ik\Delta x} - 1) + \mu (e^{-k\Delta x} - 1) + \mu ^2(e^{ik\Delta x} - 1)(e^{-ik\Delta x} - 1)\nonumber\\
	&=& 1 + 2\mu (\cos{k\Delta x} - 1) + \mu ^2(2 - 2\cos{k\Delta x})\nonumber\\
	&=& 1 - 2\mu (1 - \cos{k\Delta x})(1 - \mu )
	\Deqlab{6.14}
\end{eqnarray}
�����, $\left|\lambda ^2\right| \leq 1$�ł��邽�߂ɂ�$1 - \mu \geq 0$�łȂ���΂Ȃ�Ȃ�. 

\Deqref{6.14}�ŋL�q�����$\left|\lambda ^2\right|$�̐���������. 
$k\Delta x$���Œ肵��, $0 \leq \mu \leq 1$��$\left|\lambda ^2\right|$���ǂ��ω����邩���l����. 
$\left|\lambda ^2\right|$��$u$�̊֐��Ƃ��Č����, $\left|\lambda ^2\right|$��$u$��2���֐��ł���,
���̋ɒl��
\begin{eqnarray*}
	\DD{\left|\lambda ^2\right|}{\mu} = 0
\end{eqnarray*}
�ƂȂ�$u$�ŗ^������. �����
\begin{eqnarray*}
	\DD{\left|\lambda ^2\right|}{\mu} = -2(1 - 2\mu)(1 -\cos{k\Delta x})
\end{eqnarray*}
�ƂȂ�̂�$displaystyle{\mu = \frac{1}{2}}$�ŋɏ��l���Ƃ�, �Ȑ��̌X����$k\Delta x$���傫���ق�, �܂�g�����Z���قǑ傫���Ȃ�. 
�ŏ��g����$2\Delta x$
\footnote{
	\begin{eqnarray*}
		k 
		&=& \frac{2\pi }{2\Delta x}\\ 
		&=& \frac{\pi }{\Delta x}
	\end{eqnarray*}
}. ���̂Ƃ�$\left|\lambda \right|^2 = 0$�ƂȂ�.

\clearpage
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=11cm,keepaspectratio,clip]{lambda.eps}  
\caption{$L=k\Delta x$�Ƃ����Ƃ���$\left| \lambda \right|^2$�̐}(F.Mesinger and A.Arakawa(1976)��p.8��Figure 6.1). }
\end{center}
\end{figure}
�}(8.6.1)���番����Ƃ���g�����������قǑ����W���͏�����, �Z�g�������ق�, ���l�I�Ɍ������₷��
\footnote{$\mu = \frac{1}{2}$�ɂ����$L=2\Delta x$�̐�����1�X�e�b�v�v�Z��0�ɂȂ�. }. 


	
\end{document}