
% Mesinger and Arakawa
% 20101014 (ô���ԡ���Ȫ����)



\documentclass[a4j,12pt]{jreport}
\usepackage{Dennou6}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{times}
\usepackage{url}
\usepackage{bm}
\usepackage{booktabs}
\pagestyle{Dmyheadings}

\setlength{\parskip}{2ex}

\setcounter{chapter}{8}
\setcounter{section}{1}
\setcounter{figure}{0}
\setcounter{table}{0}
\setcounter{page}{1}
\setcounter{equation}{0}

\makeatletter  % ���������ݤ�ɬ��. documentclass �θ���˽�ɬ�פ���
       % ��.
\renewcommand{\chapter}{%
  \thispagestyle{jpl@in}%
  \global\@topnum\z@
  \@afterindenttrue
  \secdef\@chapter\@schapter}
 % chapter ��ľ���ǲ��Ԥ��ʤ��褦������.
\makeatother

\def\thesecion{\arabic{chapter}.\arabic{section}}
\def\thesection{\arabic{section}}
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}}
\def\thepage{\arabic{page}} % ����
%\def\thepage{\roman{page}} % �����޿���
\def\thetable{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{table}}
\def\thefootnote{\arabic{footnote} )}
\def\thefigure{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{figure}}

\Dtitle{GFD����Ρ���}{}
\Dauthor{��Ȫ����}{}
\Ddate{2010/10/14}
\markright{��9�� ����ʬ�������ο��Ͳ�ˡ�δ��� 2}


\begin{document}
\chapter{����ʬ�������ο��Ͳ�ˡ�δ��� 2 -���ֺ�ʬˡ-}
�桹����Ū������ʬ��������򤯤��ȤǤ��뤬, ���ξϤǤ���Ω�ѿ�, ��°�ѿ����Ȥ�� 1 �Ĥξ���ʬ���������դ��ƹͤ���. �ʤ��ʤ�ºݤ������ϢΩ����ʬ�������������˵��夵��뤳�Ȥ����뤫��Ǥ���. �ޤ�, ����ʬ�������κ�ʬ��������ʬ��������򤯺ݤˤ�Ȥ����Ȥ��Ǥ��뤫��Ǥ���.

�����Ĥ��λ��ֺ�ʬ������������Ū�ʾ���ʬ�������ˤ��ƤϤ�ƹͤ���. ���夲�����ʬ��������, ��ư���������໤�������Ǥ���.
\begin{align}
\DD{U}{t} + i \omega U &=0 \qquad (\omega \in \mathbf{R}),\\
\DD{U}{t} + \alpha U &=0 \qquad (\alpha \in \mathbf{R}).
\end{align}

\section{���ֺ�ʬ������������}
�ʲ��Τ褦�ʾ���ʬ��������ͤ���.
\begin{equation}
\DD{U}{t} = f(U,t). \notag
\end{equation}
���ֺ�ʬ���������ͤ�������,�֥�٥� (�ʳ���)�פȤ�����ǰ���ΤäƤ���ɬ�פ�����. ��٥�ȤϤĤޤ�, ����$t=(n+1) \Delta t$ ��$U^{n+1}$ ����뺹ʬ����, �����Ĥΰۤʤ�����$U^{n}$������Ƥ��뤫, �Ȥ������ȤǤ���.
\subsection{2 �ʳ��� (two-level) ��������}
2 �ʳ���������Ȥ�, $U^{n+1}$ �� $U^{n}$ ���Ѥ��Ƶ��륹������Ǥ���.

{\bf ��) �����顼���������� (������ʬ��������)}

\begin{align}
\frac{U^{n+1}-U^{n}}{\Delta t} &= f^{n}, \notag\\
U^{n+1} &= U^{n} + \Delta t f^{n}.
\end{align}
â��, $f^{n}=f(U^{n},n \Delta t)$�Ǥ���. 
�����顼������������Ǥ��ڤ����$\varepsilon_{\text{�����顼}}$�ϼ����̤�Ǥ���.
$U((n+1) \Delta t)$��$n \Delta t$�Τޤ��ǥƥ��顼Ÿ������,
\begin{equation}
U((n+1) \Delta t) = U(n \Delta t) + \left. \DD{U}{t} \right|_{n \Delta t} \Delta t +\frac{1}{2} \left. \DD[2]{U}{t} \right|_{n \Delta t} (\Delta t)^{2} + \cdots \notag
\end{equation}
���,
\begin{align}
\varepsilon_{\text{�����顼}} &= \frac{U^{n+1}-U^{n}}{\Delta t} - f^{n}\notag\\
                              &= \left. \DD{U}{t} \right|_{n}+\frac{1}{2} \left. \DD[2]{U}{t} \right|_{n} \Delta t +\cdots -f^{n}\notag\\
                              &= \frac{1}{2} \left. \DD[2]{U}{t} \right|_{n} \Delta t + \cdots.\notag
\end{align}
�椨��,
\begin{equation}
\varepsilon_{\text{�����顼}} = O(\Delta t).\notag
\end{equation}

{\bf ��) ���ູʬ��������}
\begin{align}
\frac{U^{n+1}-U^{n}}{\Delta t} &= f^{n+1},\notag \\
U^{n+1} &= U^{n} + \Delta t f^{n+1}.
\end{align}
â��, $f^{n+1}=f(U^{n+1},(n+1) \Delta t)$�Ǥ���. ���ູʬ����������Ǥ��ڤ����$\varepsilon_{\text{����}}$�ϼ����̤�Ǥ���.
\begin{align}
\varepsilon_{\text{����}} &= \frac{U^{n+1}-U^{n}}{\Delta t} - f^{n+1}\notag\\
                          &= \frac{1}{\Delta t} \left[ U^{n+1}- \left( U^{n+1}- \left. \DD{U}{t} \right|_{n+1}\Delta t + \frac{1}{2} \left. \DD[2]{U}{t} \right|_{n+1} (\Delta t)^2 + \cdots \right) \right] - f^{n+1}\notag\\
                          &=-\frac{1}{2} \left. \DD[2]{U}{t} \right|_{n+1}\Delta t - \cdots.\notag
\end{align}
�椨��,
\begin{equation}
\varepsilon_{\text{����}}=O(\Delta t).\notag
\end{equation}
(9.1.4) �ϵ�᤿���ͤǤ���$U^{n+1}$���Τ����դ˸���Ƥ���. �����ͤʥ��������Ū�ʥ������� (implicit sheme) �Ȥ���.

{\bf ��) �����������}

���������顼����������Ȥ�, 2 ���Υ�󥲥��å���������Ȥ�ƤФ��.
\begin{align}
\frac{U^{n+1}-U^{n}}{\Delta t} &=\frac{1}{2} \left( f^n + f^{(n+1)} \right),\notag \\
U^{n+1} &= U^{n} + \frac{1}{2}\Delta t \left( f^n + f^{n+1} \right).
\end{align}
�������������Ǥ��ڤ����$\varepsilon_{\text{���}}$�ϼ����̤�Ǥ���.
\begin{align}
\varepsilon_{\text{���}} &= \frac{U^{n+1}-U^{n}}{\Delta t}-\frac{1}{2} \left( f^n + f^{(n+1)} \right)\notag\\
                          &= \frac{1}{2}\frac{U^{n+1}-U^{n}}{\Delta t}-\frac{1}{2}f^n\notag\\
                          &+ \frac{1}{2}\frac{U^{n+1}-U^{n}}{\Delta t}-\frac{1}{2}f^{n+1}\notag\\
                          &= \frac{(\varepsilon_{\text{�����顼}} + \varepsilon_{\text{����}})}{2}\notag\\
                          &= \frac{1}{3} \left. \DD[3]{U}{t} \right|_n (\Delta t)^2 + \cdots.\notag
\end{align}
�椨��,
\begin{equation}
\varepsilon_{\text{���}}= O(\Delta t^2).\notag
\end{equation}

{\bf ��) ��������� (���ʡ����ॹ������)}

���������� 2-level, 2-stage (2 �ʳ� 2 ��) �Υ�������Ǥ���.

\begin{align}
U^* &= U^n + \Delta t f^{(n)},\notag \\
U^{n+1} &= U^n + \Delta t f^{(*)}.
\end{align}
â��, $\displaystyle f^* = f(U^* , (n+1)\Delta t)$�Ǥ���. �Ǥ��ڤ������$\varepsilon = O(\Delta t)$ �Ǥ���. �ʤ��ʤ��,
\begin{align*}
f^* &= f^n + \DP[]{f}{U} \DP[]{U}{t} \Delta t + \DP[]{f}{t} \Delta t + O(\Delta t^2) \notag \\
    &= f^n + \left( \DP[]{f}{U} \DP[]{U}{t} + \DP[]{f}{t} \right) \Delta t + O(\Delta t^2), \notag \\
\\
U^{n+1} &= U^n + \left. \DD{U}{t} \right|_n \Delta t + \frac{1}{2} \left. \DD[2]{U}{t} \right|_n \Delta t^2 + O(\Delta t^3) \notag
\end{align*}
�Ǥ��뤿��,
\begin{align*}
\varepsilon_{\text{����}} &= \frac{U^{n+1} - U^n}{\Delta t} - f^* \notag \\
                          &= \DD{U}{t} + \frac{1}{2} \DD[2]{U}{t} \Delta t + O(\Delta t^2) - \left[ f^n + \left( \DP[]{f}{U} \DP[]{U}{t} + \DP[]{f}{t} \right) \Delta t + O(\Delta t^2) \right] \notag \\ 
                          &= \left[ \frac{1}{2} \DD[2]{U}{t} - \left( \DP[]{f}{U} \DP[]{U}{t} + \DP[]{f}{t} \right) \right] \Delta t + O(\Delta t^2) \notag
\end{align*}
�Ǥ��뤫��Ǥ���.


{\bf ��) �ۥ��󥹥�����}

\begin{align}
U^* &= U^n + \Delta t f^n,\notag\\
U^{n+1} &= U^n + \frac{1}{2} \Delta t (f^n + f^*).
\end{align}
â��, $f^* =f(U^*, (n+1) \Delta t)$ �Ǥ���. ���٤�$\varepsilon = O(\Delta t^2)$�Ǥ���. �ʤ��ʤ��, ���������λ���Ʊ�ͤˤ���,
\begin{align*}
f^*     &= f^n + \left( \DP[]{f}{U} \DP[]{U}{t} + \DP[]{f}{t} \right) \Delta t + O(\Delta t^2),\\
U^{n+1} &= U^n + \left. \DD{U}{t} \right|_n \Delta t + \frac{1}{2} \left. \DD[2]{U}{t} \right|_n \Delta t^2 + O(\Delta t^3) \notag
\end{align*}
�ʤΤ�, $\displaystyle \DD[]{}{t} f(U, t) = \DP[]{U}{f} \DD[]{U}{t} + \DP[]{f}{t}$ �� $\displaystyle \DD[]{U}{t} = f$ �����դ����,
\begin{align*}
\varepsilon_{\text{�ۥ���}} &= \frac{U^{n+1} - U^n}{\Delta t} - \frac{1}{2} (f^n + f^*) \\
                            &= \DD{U}{t} + \frac{1}{2} \DD[2]{U}{t} \Delta t + O(\Delta t^2) - \left[ f^n + \frac{1}{2} \left( \DP[]{f}{U} \DP[]{U}{t} + \DP[]{f}{t} \right)\right] \Delta t + \frac{1}{2} O(\Delta t^2) \\
                            &= \frac{1}{2} \left[ \DD[2]{U}{t} - \left( \DP[]{f}{U} \DP[]{U}{t} + \DP[]{f}{t} \right) \right] \Delta t - \frac{1}{2} O(\Delta t^2)\\
                            &= \frac{1}{2} \DD[]{}{t} \left( \DD[]{U}{t} - f \right) \Delta t - \frac{1}{2} O(\Delta t^2) \\
                            &= -\frac{1}{2} O(\Delta t^2)
\end{align*}
�Ȥʤ뤫��Ǥ���. 



\end{document}
