\documentclass[a4j,12pt]{jreport}
\usepackage{Dennou6}
\usepackage{times}
\usepackage{ascmac}

\Dauthor{���� �O��}
\Ddate{2010 �N 10 �� 21 ��}% ���t�̎w��
\Dtitle{GFD���[�N�m�[�g}      % ����w�b�_�[�w��
\Dfile{2010-0930-ogihara.tex}
\markright{��9�� �Δ����������̐��l��@�̊�b2} % �E��w�b�_�̎w��

\pagenumbering{roman}
\setcounter{page}{9}       
\setcounter{chapter}{9}     
\setcounter{section}{2}     
\setcounter{subsection}{1}  
\setcounter{equation}{4}   
\setcounter{figure}{0}      
\setlength{\parskip}{1em}   

%\makeatletter  % �Ē�`����ۂɕK�v. documentclass �̌��ɏ����K�v����
	       % ��. 
%\renewcommand{\chapter}{%
%  \thispagestyle{jpl@in}%
%  \global\@topnum\z@
%  \@afterindenttrue
%  \secdef\@chapter\@schapter}
 % chapter �̒��O�ŉ��s���Ȃ��悤�ɐݒ�. 
%\makeatother

\def\thesecion{\arabic{chapter}.\arabic{section}}
\def\thesection{\arabic{chapter}.\arabic{section}}
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}}
\def\thepage{\arabic{page}} % ����
%\def\thepage{\roman{page}} % ���[�}����
\def\thetable{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{table}}
\def\thefootnote{\arabic{footnote} )}
\def\thefigure{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{figure}}
\def\thesubsection{\arabic{section}.\arabic{subsection}}

\begin{document}

\subsection{��������2�i�K�X�L�[��(iterative two level schemes)}

��������2�i�K�X�L�[���𔽕����Ȃ�2�i�K�X�L�[���Ɠ��l�ɂ܂Ƃ߂ď�����
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}.a}
\begin{equation}
	U^{(n + 1)^{*}} = U^{(n)} + \Delta tf^{(n)},
	\Deqlab{2.18a}
\end{equation}
\setcounter{equation}{4}
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}.b}
\begin{equation}
	U^{(n + 1)} = U^{(n)} + \Delta t\left(\alpha f^{(n)} + \beta f^{(n + 1)^{*}}\right).
	\Deqlab{2.18b}
\end{equation}
\setcounter{equation}{4}
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}.c}

���̂Ƃ�$\alpha + \beta = 1$�ł���. 

\subsubsection*{����X�L�[���̈��萫}
(9.2.5.a,b)��$\alpha = 0$, $\beta = 1$�Ƃ���. 

\Deqref{2.18a}�ɐU�������������Ă͂߂��$f^{(n)} = i\omega U^{(n)}$�Ȃ̂�
\begin{equation}
	U^{(n + 1)^{*}} = U^{(n)} + i\omega \Delta tU^{(n)}.
	\Deqlab{2.18c}
\end{equation}
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}}
\Deqref{2.18b}�ɐU�������������Ă͂߂�\Deqref{2.18c}���������
\begin{eqnarray*}
	U^{(n + 1)} 
	&=& U^{(n)} + i\omega \Delta t\left(\beta U^{(n + 1)^{*}}\right)\\
	&=& U^{(n)} + i\omega \Delta t\left(\beta U^{(n)} + i\omega \Delta t\beta U^{(n)}\right)\\
	&=& \left(1 + i\omega \Delta t\beta + (i\omega \Delta t)^2\beta \right)U^{(n)}.
\end{eqnarray*}
������$\displaystyle{\lambda \equiv \frac{U^{(n + 1)}}{U^{(n)}}}$�Ƃ����
\begin{equation}
	\lambda = 1 + i\beta p - \beta p^2.
	\Deqlab{2.20}
\end{equation}
�A��, $p \equiv \omega \Delta t$. �����$\beta = 1$���
\begin{equation}
	\lambda = 1 + ip - p^2.
	\Deqlab{2.21}
\end{equation}
�����ň��萫�𒲂ׂ邽�߂�$\left| \lambda\right|$�����߂�. 
\begin{eqnarray}
	\left|\lambda\right| = \sqrt{\lambda \cdot \lambda ^{\star}}
	&=& \sqrt{(1 - p^2 + ip)(1 - p^2 - ip)}\nonumber\\
	&=& \sqrt{(1 - p^2)^2 + p^2}\nonumber\\
	&=& \sqrt{1 - p^2 + p^4}.
	\Deqlab{2.23}
\end{eqnarray}
����ƂȂ�̂�$\left|\lambda\right| \leq 1$�̂Ƃ��Ȃ̂�
\begin{eqnarray*}
	\left|p\right| \leq 1. 
\end{eqnarray*}
������$p = \omega \Delta t$�Ȃ̂�
\begin{eqnarray*}
	\left|\omega \Delta t\right| \leq 1.
\end{eqnarray*}
$\Delta t > 0$���
\begin{equation}
	\Delta t \leq \frac{1}{\left|\omega \right|}.
	\Deqlab{2.24}
\end{equation}


����X�L�[����$p$�ɑ΂���$\left|\lambda \right|$�̐U������m�邽�߂�$\left|\lambda \right|$�̋ɒl���l����.
\begin{eqnarray*}
	\DD{\left|\lambda \right|}{p}
	&=& \frac{4p^3 - 2p}{2\sqrt{(p^4 - p^2 + 1)}}\\
	&=& \frac{p(2p^2 - 1)}{\sqrt{(p^4 - p^2 + 1)}}.
\end{eqnarray*}
�����, $\left| \lambda\right|$��$\displaystyle{p = \frac{1}{\sqrt{2}}}$�ŋɒl. 

$\displaystyle{0<p\leq\frac{1}{\sqrt{2}}}$�͈̔͂ł�$\omega$���傫���ق�$\left|\lambda \right|$���������Ȃ�.
Matsuno(1966)�ɂđ����̐U���������n�ł�$\displaystyle{0<p<\frac{1}{\sqrt{2}}}$�ƂȂ�悤��$\Delta t$��^��������ǂ��Ǝw�E����Ă���
\footnote{$\displaystyle{0<p\leq\frac{1}{\sqrt{2}}}$�̋�Ԃ��ƌ��������傫�����߂Ƀm�C�Y�ɂȂ�\�������鍂���g����葁�������ł���. }. 

\subsubsection*{�z�C���X�L�[���̈��萫}
�z�C���X�L�[���̑����W���͏���X�L�[���Ɠ��l��\Deqref{2.18b}�ɐU�������������Ă͂߂�\Deqref{2.18c}���������
\begin{eqnarray*}
	U^{(n + 1)} 
	&=& U^{(n)} + i\omega \Delta t\left(\alpha U^{(n)} + \beta U^{(n + 1)^{*}}\right)\\
	&=& U^{(n)} + i\omega \Delta t\left(\alpha U^{(n)} + \beta U^{(n)} + i\omega\Delta t\beta U^{(n)}\right)\\
	&=& (1 + i(\alpha + \beta )p - p^2\beta )U^{(n)}.
\end{eqnarray*}
�����ŏ���X�L�[���Ɠ����悤��$\lambda$���`��, $\displaystyle{\alpha = \beta = \frac{1}{2}}$���������
\begin{equation}
	\lambda = 1 + ip - \frac{1}{2}p^2.
	\Deqlab{2.22}
\end{equation}
���萫�����߂邽��$\left| \lambda\right|$�����߂�. 
\begin{eqnarray}
	\left|\lambda\right| = \sqrt{\lambda \cdot \lambda ^{*}}
	&=& \sqrt{\left(1 + ip - \frac{1}{2}p^2\right)\left(1 + ip - \frac{1}{2}p^2\right)}\nonumber\\
	&=& \sqrt{\left(1 - \frac{1}{2}p^2\right)^2 + p^2}\nonumber\\
	&=& \sqrt{1 + \frac{1}{4}p^4}.
	\Deqlab{2.24}
\end{eqnarray}
\Deqref{2.24}��$p>0$�ŏ��1���傫���Ȃ��Ă��܂��̂ŐU���������ɑ΂��s����ł���. ������, 
$p=\omega\Delta t\ll 1$�̂Ƃ�$\left| \lambda \right|$��$p=0$�̂܂��œW�J�����
\begin{eqnarray*}
	\left(1 + \frac{1}{4}p^4\right)^{\frac{1}{2}}
	&=& 1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}p^4 + O(p^8)\\
	&=& 1 + \frac{1}{8}p^4 + O(p^8)
\end{eqnarray*}
$p = \omega \Delta t$�Ȃ̂�
\begin{eqnarray*}
	\left| \lambda \right|
	&=& 1 + O(\Delta t^4) < 1 + O(\Delta t)
\end{eqnarray*}
�ƂȂ�, �����I�ɂ͈�������𖞂����ĂȂ����t�H���E�m�C�}���@�ɂ����萫�̕K�v����
\footnote{�������瓱������萫����}�͖������Ă���. 

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=11cm,keepaspectratio,clip]{lambda3.eps}  
\caption{$p$�ɂ��$\left| \lambda \right|$�̐U����. }
\end{center}
\end{figure}

\subsubsection*{�ʑ�}
���l���͊����U���̂Ƃ��Ɉ������悤��
\begin{equation}
	U^{(n)} = \left| \lambda \right|^nU^{(0)}e^{in\theta } = \lambda^nU^{(0)}
	\Deqlab{2.25}
\end{equation}
�ł���, �^�̉���
\begin{equation}
	U(n\Delta t) = U(0)e^{inp}
	\Deqlab{2.26}
\end{equation}
�ł���. ������\Deqref{2.25}��$\lambda$������$\lambda_{re} $�Ƌ���$\lambda_{im}$�ɏ���������

\begin{equation}
	U^{(n)} = (\lambda _{re} + i\lambda _{im})^nU^{(0)}.
	\Deqlab{2.27}
\end{equation}
�܂�, $\lambda _{re} + i\lambda _{im} = \left| \lambda\right|e^{i\theta}$���
\begin{eqnarray*}
	\tan{\theta} = \frac{\lambda _{im}}{\lambda _{re}}. 
\end{eqnarray*}
�����, 
\begin{equation}
	\theta = \arctan{\frac{\lambda _{im}}{\lambda _{re}}}
	\Deqlab{2.28}
\end{equation}
���l���̈ʑ��ɑ΂���^�̉��̈ʑ��̔��
\begin{equation}
	\frac{\theta }{p} = \frac{1}{p}\arctan{\frac{\lambda _{im}}{\lambda _{re}}}. 
	\Deqlab{2.29}
\end{equation}

(i)�I�C���[�X�L�[��

�I�C���[�X�L�[����$\lambda = 1 + ip$�Ȃ̂�\Deqref{2.29}��
\begin{eqnarray*}
	\frac{\theta }{p} = \frac{1}{p}\arctan{p} < 1. 
\end{eqnarray*}
�����, �I�C���[�X�L�[���̏ꍇ���l���̈ʑ��͐^�̉��ɔ�ׂĒx���i��. 

(ii)��ރX�L�[��

��ރX�L�[����
$\displaystyle{\lambda = \frac{(1 + ip)}{1 + p^2}}$�Ȃ̂�
\begin{eqnarray*}
	\frac{\theta }{p} 
	&=& \frac{1}{p}\arctan{\frac{\frac{p}{1 + p^2}}{\frac{1}{1 + p^2}}}\\
	&=& \frac{1}{p}\arctan{p}
\end{eqnarray*}
�ƂȂ�I�C���[�X�L�[���Ɠ��l�ɐ��l���̈ʑ��͐^�̉��ɔ�ׂĒx���i��.

(iii)��`�X�L�[��

��`�X�L�[����$\displaystyle{\lambda = \frac{1}{1 + p^2}\left(1 - \frac{1}{4}p^2 + ip \right)}$�Ȃ̂�
\begin{eqnarray*}
	\frac{\theta }{p} = \frac{1}{p}\arctan{\frac{p}{1 - \frac{1}{4}p^2}}.
\end{eqnarray*}
$p \ll 1$�̂Ƃ�$p = 0$�̎���œW�J�����
\footnote{$\arctan{x}$�̃}�N���[�����W�J�����߂�. 

	�܂�$\displaystyle{\frac{1}{1 - r}}$�����߂�. $\left| r\right| < 1$�̂Ƃ�$r = 0$�̎���œW�J�����
	\begin{eqnarray*}
		\frac{1}{1 - r} = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdot\cdot\cdot.
	\end{eqnarray*}
	���̂Ƃ�$r = - t^2(\left| t\right|<1)$�Ƃ����
	\begin{eqnarray*}
		\frac{1}{1 + t^2} = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + \cdot\cdot\cdot.
	\end{eqnarray*}
	�����$\left| x\right|<1$�ł���$x$�ɑ΂���0����$x$�܂Őϕ������
	\setcounter{equation}{0}
	\def\theequation{a.\arabic{equation}}
	\begin{eqnarray}
		\int^x_0 \frac{dt}{1 + t^2}
		&=& \int^x_0 \left(1 - t^2 + t^4 - t^6 + \cdot\cdot\cdot\right) dt \nonumber\\
		&=& x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdot\cdot\cdot.
		\Deqlab{a}
	\end{eqnarray}
	������$y = \arctan{x}$��$x$�������l����. $y = \arctan{x}$�̒�`��� 
	\begin{eqnarray*}
		\tan{y} = x
	\end{eqnarray*}
	���ӂ�$x$�Ŕ��������
	\begin{eqnarray*}
		\DD{\tan{y}}{y}\cdot\DD{y}{x} = 1\\
		\frac{1}{\cos{^2y}}\cdot\DD{y}{x} = 1\\
		\DD{y}{x} = \cos{^2y}
	\end{eqnarray*}
	������$\displaystyle{\cos{^2y} = \frac{1}{1 + \tan{^2y}}}$�Ȃ̂�
	\begin{eqnarray*}
		\DD{y}{x}
		&=& \cos{^2y}\\
		&=& \frac{1}{1 + \tan{^2y}}\\
		&=& \frac{1}{1 + x^2}. 
	\end{eqnarray*}
	�����, 
	\begin{equation}
		\arctan{x} = \int^x_0 \frac{1}{1 + x^2}dx. 
		\Deqlab{b}
	\end{equation}
	\Deqref{a}��\Deqref{b}����
	\setcounter{equation}{16}
	\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}}
	\begin{eqnarray*}
		\arctan{x} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdot\cdot\cdot. 
	\end{eqnarray*}
}
\begin{eqnarray}
	\frac{\theta }{p} 
	&=& \frac{1}{p}\arctan{\frac{p}{1 - \frac{1}{4}p^2}}\nonumber\\
	&=& \frac{1}{p}\arctan{\left \{p\left( p + p^2 + p^4 + \cdot\cdot\cdot \right)\right \}}\nonumber\\
	&=& \frac{1}{p}\left \{ \left(p + p^3 + p^5 + \cdot\cdot\cdot\right) - \frac{\left(p + p^3 + p^5 +  \cdot\cdot\cdot\right)^3}{3}\right. \nonumber\\
	& & + \left.\frac{\left(p + p^3 + p^5 + \cdot\cdot\cdot\right)^5}{3} - \cdot\cdot\cdot \right \} . 
	\Deqlab{2.30}
\end{eqnarray}
������$\displaystyle{\frac{p}{1 - \frac{1}{4}p^2}}$���O���ȏ�̊�^�𖳎������\Deqref{2.30}��
\begin{eqnarray*}
	\frac{\theta }{p}
	&\approx & \frac{1}{p}\left( p - \frac{p^3}{3} + \frac{p^5}{5} - \cdot\cdot\cdot\right)\\
	&=& \frac{1}{p}\arctan{p} < 1. 
\end{eqnarray*}
�܂�, �O���܂ł̊�^���l�������
\begin{eqnarray*}
	\frac{\theta }{p}
	&\approx & \frac{1}{p}\left( p + p^3 - \frac{\left( p + p^3\right) ^3}{3} + \frac{\left( p + p^3\right) ^5}{5} - \cdot\cdot\cdot\right)\\
	&=& \frac{1}{p}\left( p + p^3 - \frac{\left(p^3 + 3p^5 + 3p^7 + p^9\right)}{3} + O(p^4) \right)\\
	&=& 1 + \frac{2}{3}p^2 + O(p^3) > 1. 
\end{eqnarray*}

�����, $p$��0�̋ɋߖT�ł̓I�C���[�X�L�[���Ɠ��l�ɐ��l���̈ʑ��͐^�̉��ɔ�ׂĒx���i��, �������痣��Ă����Ƒ����i��. 

(iv)����X�L�[��

����X�L�[����$\lambda = 1 -p^2 + ip$�Ȃ̂�
\begin{eqnarray*}
	\frac{\theta }{p} = \frac{1}{p}\arctan{\frac{p}{1 - p^2}}.
\end{eqnarray*}
�ƂȂ��`�X�L�[���Ɠ��l�̌`�ɂȂ�̂ő�`�X�L�[���Ɠ�����$p$��0�̋ɋߖT�ł͒x���i��, �������痣����
�����i��. 

%\begin{eqnarray*}
%	\frac{\theta }{p}
%	&=& 1 + \frac{2}{3}p^2 + \cdot\cdot\cdot > 1. 
%	&=& \frac{1}{p}\arctan{\frac{p}{1 - p^2}}\\
%	&=& \frac{1}{p}\left(\frac{p}{1 - p^2} - \frac{\left(\frac{p}{1 - p^2}\right)^3}{3} + \frac{\left(\frac{p}{1 - p^2}\right)^5}{3} + \cdot\cdot\cdot\right)\\
%	&\approx & \frac{1}{p}\left(p - \frac{p^3}{3} + \frac{p^5}{3} + \cdot\cdot\cdot\right)\\
%	&=& \frac{1}{p}\arctan{p}.
%\end{eqnarray*}
%�����, �ʑ��͑����i��. 

(v)�z�C���X�L�[��

�z�C���X�L�[����$\displaystyle{\lambda = 1 -\frac{1}{2}p^2 + ip}$�Ȃ̂�
\begin{eqnarray*}
	\frac{\theta }{p} = \frac{1}{p}\arctan{\frac{p}{1 - \frac{1}{2}p^2}}.
\end{eqnarray*}
��`�X�L�[���Ə���X�L�[���Ɠ��l��, $p$��0�̋ɋߖT�ł͒x���i��, �������痣����
�����i��. 
%\begin{eqnarray*}
%	\frac{\theta }{p} 
%	&=& \frac{1}{p}\arctan{\frac{p}{1 - \frac{1}{2}p^2}}\\
%	&=& \frac{1}{p}\left(\frac{p}{1 -\frac{1}{2}p^2} - \frac{\left(\frac{p}{1 -\frac{1}{2}p^2}\right)^3}{3} + \frac{\left(\frac{p}{1 -\frac{1}{2}p^2}\right)^5}{5} + \cdot\cdot\cdot\right)\\
%	&\approx & \frac{1}{p}\left(p - \frac{p^3}{3} + \frac{p^5}{5} + \cdot\cdot\cdot\right)\\
%	&=& \frac{1}{p}\arctan{p}.
%\end{eqnarray*}
%�����, ���l���̈ʑ��͐^�̉��ɔ�ׂĒx���i��

\subsection{�O�i�K�X�L�[��}

\subsubsection{���[�v�t���b�O�X�L�[��(leapfrog scheme)}
�U���������ɑ΂��ă��[�v�t���b�O�X�L�[�������Ă͂߂���������
\begin{equation}
	U^{(n + 1)} = U^{(n - 1)} + 2i\omega \Delta tU^{(n)}. 
	\Deqlab{2.32}
\end{equation}
�O�i�K�X�L�[����p�����ꍇ�����l��$U^{(0)}$, $U^{(1)}$��2�K�v�ɂȂ�. ������$U^{(0)}$�͕����I�ȏ����l, $U^{(1)}$��$U^{(0)}$���牽�炩��
���@�Ōv�Z�����߂������l�ł���. 

�����W��$\lambda$���v�Z�����
\begin{eqnarray*}
	U^{(n)} = \lambda U^{(n -1)}. 
\end{eqnarray*}
$\displaystyle{U^{(n)} = \frac{U^{(n + 1)}}{\lambda}}$�Ȃ̂�
\begin{eqnarray*}
	\frac{U^{(n + 1)}}{\lambda} = \lambda U^{(n -1)}. 
\end{eqnarray*}
���ӂ�$\lambda $���|�����
\begin{eqnarray*}
	U^{(n + 1)} = \lambda ^2U^{(n -1)}.
\end{eqnarray*}
�����\Deqref{2.32}�ɑ�������
\begin{eqnarray*}
	\lambda ^2 U^{(n -1)} = U^{(n - 1)} + 2i\omega \Delta t\lambda U^{(n -1)}.
\end{eqnarray*}
���ӂ�$U^{(n - 1)}$�Ŋ����
\begin{eqnarray*}
	\lambda ^2 - 2i\omega \Delta t\lambda  - 1 = 0.
\end{eqnarray*}
�����������
\begin{equation}
	\lambda = ip \pm \sqrt{1 - p^2}. 
	\Deqlab{2.33}
\end{equation}
�����, $\lambda$�̉���2���݂���. ��ʂ�$m$�i�K�X�L�[���ɂ�$(m - 1)$�̑����W���������. ���ꂼ���$\lambda$�ɑ΂��鐔�l�������[�h(mode)�ƌĂ�. 

���[�v�t���b�O�X�L�[���̏ꍇ\Deqref{2.33}��
\begin{eqnarray*}
	\lambda _1 = \sqrt{1 - p^2} + ip, 
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
	\lambda _2 = - \sqrt{1 - p^2} + ip 
\end{eqnarray*}
��2�̉��ɂȂ�. ������$\Delta t \rightarrow 0$�̋Ɍ����l�����$\lambda_1$�̂Ƃ���$\lambda _1 \rightarrow 1$��$U^{(n + 1)} = U^{(n)}$, $\lambda_2$�̂Ƃ�$\lambda _2 \rightarrow -1$��
$U^{(n + 1)} = - U^{(n)}$�ƂȂ�, $\lambda_2$�̂Ƃ��ɂ͔��]���Ă��܂�. 
������$\lambda_1$�ɑΉ����鐔�l���𕨗����[�h(physical modes). $\lambda_2$�ɑΉ����鐔�l�����v�Z���[�h(computational modes)�ƌĂԂ��Ƃɂ���.
���ۂ̌v�Z�œ����鐔�l����, �����̃��[�h�̏d�ˍ��킹�ɂȂ�. 

�d�ˍ��킹���l����O�ɋɒ[�ȗ�Ƃ���$\omega = 0$�̏ꍇ���l����. ���̂Ƃ�
\begin{eqnarray*}
	\DD{U}{t} = 0.
\end{eqnarray*}
\Deqref{2.32}�����
\begin{eqnarray*}
	U^{(n + 1)} = U^{(n - 1)}
\end{eqnarray*}
��������. �����$U^{(1)}$�̗^�����ɂ���ĉ��̐U�������ς��. 

$U^{(1)}$��$U^{(0)}$���琳�����v�Z���ꂽ�ꍇ
\begin{eqnarray*}
	U^{(n + 1)} = U^{(n)}.
\end{eqnarray*}
�����$p \rightarrow 0$�̋Ɍ���$\lambda _1$�̃��[�h�ɑΉ�����̂�
\begin{eqnarray*}
	U^{(n + 1)} = \lambda _1U^{(n)}. 
\end{eqnarray*}
���̏ꍇ���͕������[�h�݂̂���\�������.

$U^{(1)}$��$U^{(1)} = -U^{(0)}$�Ƃ��ė^����ꂽ�ꍇ
\begin{eqnarray*}
	U^{(n + 1)} = - U^{(n)}.
\end{eqnarray*}
�����$p \rightarrow 0$�̋Ɍ��ł�$\lambda _2$�̃��[�h�ɑΉ�����̂�
\begin{eqnarray*}
	U^{(n + 1)} = \lambda_2U^{(n)}.
\end{eqnarray*}
���͌v�Z���[�h�݂̂���\�������. 

����$\omega \neq 0$�̈�ʂ̏ꍇ���l����. ���̏ꍇ
\begin{eqnarray*}
	U^{(n)}_1 = \lambda^n_1U^{(0)}_1,\\
	U^{(n)}_2 = \lambda^n_2U^{(0)}_2
\end{eqnarray*}
�̏d�ˍ��킹�ŕ\�����. �����,$a$, $b$��萔�Ƃ���� 
\begin{equation}
	U^{(n)} = a\lambda^n_1U^{(0)}_1 + b\lambda^n_2U^{(0)}_2.
	\Deqlab{2.38}
\end{equation}
$U^{(0)}$��$U^{(1)}$��\Deqref{2.38}��p���ĕ\����
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}.a}
\begin{equation}
	U^{(0)} = aU^{(0)}_1 + bU^{(0)}_2.\\
	\Deqlab{2.38a}
\end{equation}\setcounter{equation}{19}
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}.b}
\begin{equation}
	U^{(1)} = a\lambda_1U^{(0)}_1 + b\lambda_2U^{(0)}_2.
	\Deqlab{2.38b}
\end{equation}
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}}
�����$aU^{(0)}_1$��$bU^{(0)}_2$�̘A���������ƍl���ĉ�����
\begin{eqnarray*}
	aU^{(0)}_1 = \frac{\lambda _2U^{(0)} - U^{(1)}}{\lambda _2 - \lambda _1}.\\
	bU^{(0)}_2 = \frac{\lambda _1U^{(0)} - U^{(1)}}{\lambda _1 - \lambda _2}.
\end{eqnarray*}
�����\Deqref{2.38}�ɑ�������
\begin{eqnarray}
	U^{(n)} 
	&=& \lambda ^{n}_1\frac{\lambda _2U^{(0)} - U^{(1)}}{\lambda _2 - \lambda _1} + \lambda^n_2\frac{\lambda _1U^{(0)} - U^{(1)}}{\lambda _1 - \lambda _2}\nonumber\\
	&=& \frac{1}{\lambda _1 - \lambda _2}\left[\lambda ^n_1\left(U^{(1)} - \lambda _2U^{(0)}\right) - \lambda ^n_2\left(U^{(1)} - \lambda _1U^{(0)}\right)\right].
	\Deqlab{2.39}
\end{eqnarray}
�����, �������[�h�̐U����$\left|U^{(1)} - \lambda _2U^{(0)} \right|$�Ɍv�Z���[�h�̐U����$\left| U^{(1)} - \lambda _1U^{(0)}\right|$�ɔ�Ⴗ�邱�Ƃ�������. 
\Deqref{2.39}��$U^{(1)} = \lambda _1U^{(0)}$�̂Ƃ�
\begin{eqnarray*}
	U^{(n)}
	&=& \frac{1}{\lambda _1 - \lambda _2}\lambda ^n_1(\lambda _1 - \lambda _2)U^{(0)}\\
	&=& \lambda ^n_1U^{(0)}. 
\end{eqnarray*}
���$U^{(1)} = \lambda _2U^{(0)}$�̂Ƃ�
\begin{eqnarray*}
	U^{(n)}
	&=& \frac{1}{\lambda _1 - \lambda _2}\lambda ^n_2(\lambda _1 - \lambda _2)U^{(0)}\\
	&=& \lambda ^n_2U^{(0)}. 
\end{eqnarray*}
�ƂȂ�, �ǂ����$\omega = 0$�̏ꍇ�ɑΉ�����. 


$U^{(1)}$��$\lambda _1$���狁�߂邱�Ƃ��ł��邪�v�Z���[�h��K�������ł���킯�ł͂Ȃ�. �܂����G�Ȏ��ɂȂ�Ɖ�͓I�ɕ������[�h�����߂邱�Ƃ��ł��Ȃ��Ȃ�. 
�����$U^{(1)}$��2�i�K�X�L�[�����狁�߂�. �����, �������[�h�������ɕ������Ă�$U^{(n)}$���������̌������ɂȂ�Ȃ�. ����͌v�Z�@�ɂ���Ċۂߌ덷�����邽�߂ł���. 

\end{document}