
% Mesinger and Arakawa
% 20101104 (ô���ԡ���Ȫ����)



\documentclass[a4j,12pt]{jreport}
\usepackage{Dennou6}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{times}
\usepackage{url}
\usepackage{bm}
\usepackage{booktabs}
\pagestyle{Dmyheadings}

\setlength{\parskip}{2ex}

\setcounter{chapter}{9}
\setcounter{section}{2}
\setcounter{subsection}{1}
\setcounter{figure}{1}
\setcounter{table}{0}
\setcounter{page}{17}
\setcounter{equation}{39}

\makeatletter  % ���������ݤ�ɬ��. documentclass �θ���˽�ɬ�פ���
       % ��.
\renewcommand{\chapter}{%
  \thispagestyle{jpl@in}%
  \global\@topnum\z@
  \@afterindenttrue
  \secdef\@chapter\@schapter}
 % chapter ��ľ���ǲ��Ԥ��ʤ��褦������.
\makeatother

\def\thesecion{\arabic{chapter}.\arabic{section}}
\def\thesection{\arabic{section}}
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}}
\def\thepage{\arabic{page}} % ����
%\def\thepage{\roman{page}} % �����޿���
\def\thetable{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{table}}
\def\thefootnote{\arabic{footnote} )}
\def\thefigure{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{figure}}

\Dtitle{GFD����Ρ���}{}
\Dauthor{��Ȫ����}{}
\Ddate{2010/11/03}
\markright{��9�� ����ʬ�������ο��Ͳ�ˡ�δ��� 2}


\begin{document}
�꡼�ץե��å���������ξ��, 2 �Ĥ��������� $\lambda_1$��$\lambda_2$��¸�ߤ���. ���̤�, ��ư�������˥꡼�ץե��å�������������ƤϤ᤿��ʬ����, 
\begin{equation*}
U^n = a \lambda_1^n U_1^0 + b \lambda_2^n U_2^0.
\end{equation*}
�������ä�, ����������,
\begin{align*}
\lvert \lambda_1 \rvert &<1, \\
\lvert \lambda_2 \rvert &<1
\end{align*}
�Ǥ��뤳�ȤǤ���. �ʲ��Ǥϰ���������ܤ����ߤ뤿���, 3 �Ĥ����̤ʾ��ˤĤ��ƹͤ���.

{\bf Case1. $\lvert p \rvert < 1$ �ΤȤ�}

$1-p^2 >0$ ���,
\begin{equation}
\begin{split}
\lvert \lambda_1 \rvert &= \sqrt{\lambda_1 \lambda_1^*} =1, \\
\lvert \lambda_2 \rvert &= \sqrt{\lambda_2 \lambda_2^*} =1.
\end{split}
\end{equation}
��ä�, $\lvert p \rvert < 1$ �ΤȤ�, ����������Ω�Ȥʤ�. ����ˤĤ��Ƥ�,
\begin{equation*}
\theta = \arctan \left( \frac{\lambda_{im}}{\lambda _{re}} \right)
\end{equation*}
���,
\begin{equation}
\begin{split}
\theta_1 &= \arctan (\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}),\\
\theta_2 &= \arctan (- \frac{p}{\sqrt{1-p^2}}).
\end{split}
\end{equation}
$p \to 0$ �λ��ΰ���ο����񤤤ˤĤ��ƹͤ���. ���˸�$p \to +0$��ͤ����, ʪ���⡼��, �׻��⡼�ɤȤ��,
\begin{align*}
\lambda_{im} &= \lvert \lambda \rvert \sin \theta \\
             &= p \ \qquad \ (0< \theta < \pi)
\end{align*} 
�Ȥʤ�Τ�, 
\begin{align*}
\tan \theta_1 &= \frac{p}{\sqrt{1-p^2}} >0,\\
\tan \theta_2 &= - \frac{p}{\sqrt{1-p^2}} <0.
\end{align*}
�椨��,
\begin{align*}
0< \theta_1 &< \frac{\pi}{2},\\
\frac{\pi}{2} < \theta_2 &< \pi.
\end{align*}
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm, height=6cm]{fig2.2.eps}
\end{center}
\caption{�꡼�ץե��å���������ˤ�����ʪ���⡼�ɤȷ׻��⡼�ɤΰ���ο�����}
\end{figure}
�� 9.2.2 ���, 
\begin{equation*}
\theta_2 = \pi - \theta_1.
\end{equation*}
�ä�, $p \to 0$ �ΤȤ�, $\theta_1 \to p$ , $\theta_2 \to \pi - p$ �Ǥ���. $p = \omega \Delta t$ �Ǥ��뤫��, $\Delta t \to 0$ �ΤȤ�ʪ���⡼�ɤΰ���Ͽ��β�ΰ���˶�Ť����Ȥ��狼��. ����, �׻��⡼�ɤΰ���� $\pi$ ����Ƥ��ޤ�. Ʊ�ͤ� $p<0$ �Ǻ��˸�$p \to -0$ ��ͤ����,
\begin{align*}
\lambda_{im} &= \lvert \lambda \rvert \sin \theta \\
             &= p.
\end{align*}
�������ä�$-\pi < \theta < 0$. 
\begin{align*}
-\pi < \theta_1 &< -\frac{\pi}{2},\\
-\frac{\pi}{2} < \theta_2 &< 0
\end{align*}
�Ǥ��뤫��, 
\begin{equation*}
\theta_2 = -\pi - \theta_1.
\end{equation*}
���, $p \gtrless 0$ ��ޤȤ��ɽ����,
\begin{equation}
\theta_2 = \pm \pi -\theta_1 \ \qquad \ \text{(ʣ��Ʊ��)}
\end{equation}
�Ȥʤ�.

ʪ���⡼�ɤΰ��� $\theta_1$ �ο����񤤤ϼ����̤�Ǥ���. $p \ll 1$ �ΤȤ�,
\begin{equation*}
\theta_1 = \arctan \left( \frac{p}{\sqrt{1-p^2}} \right)
\end{equation*}
�ʤΤ�, $\lvert x \rvert < 1$ �ΤȤ�,
\begin{equation*}
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots
\end{equation*}
���Ѥ����,
\begin{align*}
\theta_1 &= \arctan \left( \frac{p}{\sqrt{1-p^2}} \right)\\
         &\sim \arctan \left\{ p ( 1+ \frac{1}{2}p^2 - \frac{1}{4}p^4 + \cdots) \right\} \\
         &\sim (p + \frac{p^3}{2}) - \frac{(p+\frac{1}{2}p^3)^3}{3} + \cdots \\
         &\sim p + \frac{p^3}{6} + \cdots.
\end{align*}
�椨��,
\begin{equation*}
\frac{\theta_1}{p} = 1 + \frac{p^2}{6} > 1.
\end{equation*}
�꡼�ץե��å����������ʪ���⡼�ɤΰ���Ͽ��β�����᤯�ʤ�. â��, �������������٤�.

����, $\theta_1$����ʬ��ͤ���.
\begin{align*}
\DD[]{\theta_1}{p} &= \left( \frac{1}{1 + \left( \frac{p}{\sqrt{1-p^2}} \right)^2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{1-p^2}} + \frac{p^2}{\sqrt{1-p^2} (1-p^2)} \right) \\
                  &= (1-p^2) \left( \frac{1}{\sqrt{1-p^2}(1 - p^2)} \right)\\
                  &= \frac{1}{\sqrt{1-p^2}}.
\end{align*}
$\DD[]{\theta_1}{p} > 0 $ , $p \to 1$ �ΤȤ�, $\theta_1 \to \frac{\pi}{2}$. �����$p \gtrless 0 $ �ΤȤ� $\theta_2 = \pm \pi - \theta_1$. �������ä�,
\begin{equation}
\begin{split}
U_1^n &= U_1^0 e^{in\theta_1}, \\
U_2^n &= U_2^0 e^{in(\pm \pi - \theta_1)}.
\end{split}
\end{equation}
��ñ�Τ����$\theta_1 = \frac{\pi}{8}$ �ξ���ͤ���. �����, ����ˤ����� $Im(U_1^0)=0$, $Im(U_2^0)=0$�Ȥ���. ���ΤȤ�, ʪ���⡼��$U_1^n$�ΰ����ȿ���ײ���$\frac{\pi}{8}$���Ĥ����. �׻��⡼�� ($p>0$) �ΰ���� $\theta_2 = \pi - \theta_1$ �����ײ��˿ʤ�. ���������ȵ�����ʬ���ƿ޼������, 
\begin{align*}
U_2^n &= U_2 e^{in(\pi -\theta_1)} \\
      &= U_2 e^{in\pi} e^{-in\theta_1} \\
      &= (-1)^n U_2^n (\cos n \theta_1 - i \sin n \theta_1)
\end{align*}
���,
\begin{align*}
Re[U_2^n] &= (-1)^n U_2^0 \cos n\theta_1, \\
Im[U_2^n] &= (-1)^{n+1} U_2^n \sin n\theta_1
\end{align*}
�ʤΤ�, �� 9.2.3 ���ͤˤʤ�.
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm, height=7cm]{fig2.3.eps}
\end{center}
\caption{ʪ���⡼�ɤȷ׻��⡼��}
\end{figure}

{\bf Case2. $\lvert p \rvert = 1$ �ΤȤ�}

\begin{equation*}
\lambda_1 = \lambda_2 = ip
\end{equation*}
�ʤΤ�,
\begin{equation}
\lvert \lambda_1 \rvert = \lvert \lambda_2 \rvert = 1.
\end{equation}
�椨��, ���ξ��ʪ���⡼�ɤ�׻��⡼�ɤ�Ȥ�˰���������Ω�Ǥ���. �����,
\begin{align*}
\theta_1 = \arctan \frac{\lambda_{im}}{\lambda_{re}},\\
\tan \theta_1 = \frac{\lambda_{im}}{\lambda_{re}} \to \infty.
\end{align*}
�Ǥ��뤫��,
\begin{equation}
\theta_1 = \theta_2 = \pm \frac{\pi}{2} \ \qquad \ (p= \pm 1).
\end{equation}
���ΤȤ���Ϥɤ���Υ⡼�ɤ�,
\begin{equation}
U^n = U^0 e^{\pm in \frac{\pi}{2}}
\end{equation}
�Ȥʤ�.

{\bf Case3. $\lvert p \rvert > 1$ �ΤȤ�}

\begin{align*}
\lambda_1 &= i (p + \sqrt{p^2 -1}),\\
          &= i (p - \sqrt{p^2 -1}).
\end{align*}
��̤���Ȥ��¿��Ǥ��뤳�Ȥ����դ����,
\begin{equation}
\begin{split}
\lvert \lambda_1 \rvert &= \lvert p + \sqrt{p^2 - 1} \rvert, \\
\lvert \lambda_2 \rvert &= \lvert p - \sqrt{p^2 - 1} \rvert
\end{split}
\end{equation}
�Ǥ���. �������ä�,
\begin{align*}
\lvert \lambda_1 \rvert &> 1 \ \qquad \ (p>1),\\
\lvert \lambda_2 \rvert &> 1 \ \qquad \ (p<-1).
\end{align*}
�椨��, ���������԰���Ǥ���. $\lvert p \rvert$ �� $1$ ��ۤ����, �޷���԰���ˤʤ�. �㤨��, $p>1$ �ΤȤ�,
\begin{equation*}
\DD[]{\lambda_1}{p} = 1 + \frac{p}{\sqrt{p^2 - 1}}.
\end{equation*}
��ä�, $p \to +1$ �ΤȤ�ȯ������. ����� Case2 �ΤȤ���Ʊ�ͤˤ���,
\begin{equation}
\theta_1 = \theta_2 = \pm \frac{\pi}{2}.
\end{equation}
���,
\begin{equation}
\begin{split}
U_1^n &= \lvert p + \sqrt{p^2-1} \rvert^n U_1^0 e^{\pm in \frac{\pi}{2}}, \\
U_2^n &= \lvert p - \sqrt{p^2-1} \rvert^n U_2^0 e^{\pm in \frac{\pi}{2}}.
\end{split}
\end{equation}
����οʤ����� Case2 ��Ʊ������, �����ϻ��֤ȤȤ�����ä��뤳�Ȥ��狼��.
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm, height=7cm]{fig2.5.eps}
\end{center}
\caption{�꡼�ץե��å���������ˤ������԰���⡼�ɤμ����Ȼ��֤δط�. $\lvert \lambda \rvert = 1.1$ �Ȥ�, �������ˤ����Ƶ����򥼥��Ȥ��Ƥ���.}
\end{figure}
�� 9.2.5 ���, �԰���ʥ⡼�ɤμ����� $4\Delta t$ �Ǥ���.

{\bf �ޤȤ�}

�꡼�ץե��å���������������� 2 �����٤Ǥ��뤳�Ȥ�, $\lvert \omega \Delta t \rvert \leqslant 1 $ �ΤȤ��˰���Ǥ��뤳�ȤǤ���. ����, �����Ϸ׻��⡼�ɤΰ���������Ω�Ǥ��뤳�Ȥ�, �������������ξ��˷׻��⡼�ɤ����ä����礬���뤳�ȤǤ���. �ʤ�, �׻��⡼�ɤ��ӽ�����ˤ�, ����� 2 �ʳ���������򺹤�����Ȥ褤.

\subsubsection{�����ॹ-�Хå���ե����� (Adams-Bashforth) ��������}

(1.10) �ˤ�����, $f= i\omega U$���, 
\begin{align}
U^{n+1} &= U^n + \Delta t \left( \frac{3}{2} f^n - \frac{1}{2} f^{n-1} \right) \notag \\ 
        &= U^n + i\omega \Delta t \left( \frac{3}{2} U^n - \frac{1}{2} U^{n-1} \right).
\end{align}
���ΤȤ���������$\lambda$��,
\begin{align*}
U^n &= \lambda U^{n-1}, \\
U^{n+1} &=\lambda U^n = \lambda^2 U^{n-1}
\end{align*}
�� (2.50) ����������,
\begin{equation*}
\lambda^2 - \left( 1 + i \frac{3}{2}p \right) \lambda + i\frac{1}{2} p = 0.
\end{equation*}
â��, $p\equiv \omega \Delta t$�Ǥ���. �椨��, �����ॹ-�Хå���ե��������������꡼�ץե��å����������Ʊ�ͤ� 2 �Ĥ�$\lambda$ ����. �弰�� $\lambda$ �ˤĤ��Ʋ򤯤�,
\begin{equation}
\begin{split}
\lambda_1 &= \frac{1}{2} \left[ 1 + i \frac{3}{2} + \sqrt{1 - \frac{9}{4} p^2 + ip} \right] , \\
\lambda_2 &= \frac{1}{2} \left[ 1 + i \frac{3}{2} - \sqrt{1 - \frac{9}{4} p^2 + ip} \right] .
\end{split}
\end{equation}
$p \to 0 $ �ΤȤ�, $\lambda_1 \to 1$, $\lambda_2 \to 0$ �Ǥ���. �������ä�, $\lambda_1$ ���б�����⡼�ɤ�ʪ���⡼��, $\lambda_2$ ���б�����⡼�ɤ��׻��⡼�ɤǤ���. $p$ ����ʬ�������Ȥ�, �׻��⡼�ɤϸ��ꤹ��. ����ϥ����ॹ-�Хå���ե�������������������Ǥ���. ������, $\lvert p \rvert < 1$ �ΤȤ��� $\lambda_1$ �� $\lambda_2$ �ο����񤤤�Ĵ�٤�. (9.2.5) �κ������ʬ��ƥ��顼Ÿ����, ��ƻ�˷׻������,
\begin{align*}
\lambda_1 &= 1 + ip - \frac{1}{2} p^2 + i\frac{1}{4}p^3 - \frac{1}{8} p^4 + \cdots,\\
\lambda_2 &= i\frac{1}{2}p + \frac{1}{2} p^2 - i\frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{8}p^4 - \cdots.
\end{align*}
�����ȵ�����ʬ����ɽ����,
\begin{align*}
\lambda_1 &= \left( 1 - \frac{1}{2} p^2 - \frac{1}{8} p^4 - \cdots \right) + i \left( p + \frac{1}{4} p^3 + \cdots \right), \\
\lambda_2 &= \left( \frac{1}{2} p^2 + \frac{1}{8}p^4 + \cdots \right) + i \left( \frac{1}{2} p - \frac{1}{4} p^3 - \cdots \right)
\end{align*}
�Ȥʤ�Τ�, 
\begin{equation}
\begin{split}
\lvert \lambda_1 \rvert &= \sqrt{\lambda_1 \lambda_1^*}  \\
                        &= \left( 1 + \frac{1}{2}p^4 + \cdots \right)^{\frac{1}{2}}  ,\\
\lvert \lambda_2 \rvert &= \sqrt{\lambda_2 \lambda_2^*}  \\
                        &= \left( \frac{1}{4} p^2 + \cdots \right)^{\frac{1}{2}}.
\end{split}
\end{equation}
����˥ƥ��顼Ÿ������Ⱥǽ�Ū��,
\begin{equation}
\begin{split}
\lvert \lambda_1 \rvert &= 1 + \frac{1}{4} p^4 + \cdots, \\
\lvert \lambda_2 \rvert &= \frac{1}{2}p + \cdots
\end{split}
\end{equation}
������. $\lvert \lambda_1 \rvert$ ��  $\lvert \lambda_2 \rvert$ ��Ȥ�� 1 ����礭���Τ�, �����ॹ-�Хå���ե��������������ʪ���⡼�ɤ��԰���Ǥ���. â��, ����������$O(p^4)$�ʤΤ�$\Delta t$ ��ʬ�������Ȥ�Ф��ޤ�����Ϥʤ�. �ޤ�, 4 �ʳ����Υ����ॹ-�Хå���ե�������������ʤ�ʪ���⡼�ɤϰ���Ǥ��뤳�Ȥ��Τ��Ƥ���.
 
\end{document}
