\documentclass[a4paper,12pt]{jsarticle}
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\begin{document}
\begin{list}{問1}{}
\item{}{} 図のような誘電率が一方の極板 $A$ のところで $\epsilon _{1}$で 、それから距離に比例して
増加し他方の極板 $B$ のところで $\epsilon _{2}$ になるように誘電体を詰めた、間隔 $d$ で極板
面積 $S$ の平行平板コンデンサーを考える。但し、電極の端での電場の乱れを無視する。
\end{list}

\begin{center}
\includegraphics[0cm,0cm][5cm,4cm]{figure01.eps}
\end{center}
 


\begin{list}{1-1.}{}
\item 電荷 $Q$ の真電荷を極板 $A$ に与え、電荷 $-Q$ の真電荷を極板 $B$ に与えたとき
極板 $A$ から距離 $x$ での電場を求めよ。\\\\
極板$A$を原点として下向きを正とする$x$軸を用意する。\\
$A$ から距離$x \ (0 \leq x \leq d)$ での誘電率を$f_{\epsilon}(x)$
とする。$f_{\epsilon}(0) = \epsilon _{1}$ $f_{\epsilon}(d) = \epsilon _{2}$
であるので、
\[ f_{\epsilon}(x) = (\frac{\epsilon _{2} - \epsilon _{1}}{d})x + \epsilon _{1} \]
である。これより距離$x$での電場を求める。ガウスの法則より、
\[ \int_{s} f_{\epsilon}(x)E \ ds = Q \]
\begin{equation}
E = \frac{Qd}{Sd\epsilon _{1} + S(\epsilon _{2} - \epsilon _{1})x}
\end{equation}
これより、距離$x$における電場が求まった。\\
\end{list}
\begin{list}{1-2.}{}
\item 次いで極板間の電位差$V$を求め、この平行平板コンデンサーの容量$C$を求めよ。\\\\
(1)より
\[ V = \int^{d}_{0} E \ ds = \frac{Qd}{s} \int^{d}_{0} \frac{1}{d\epsilon _{1} + (\epsilon _{2} - \epsilon _{1})x} \ dx \]
\[ V = \frac{Qd}{s(\epsilon _{2} - \epsilon _{1})} \log \frac{\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}} \]
また、$Q = CV$より$C$が求まる。
\[ C = \frac{s(\epsilon _{2} - \epsilon _{1})}{d} (\log \frac{\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}})^{-1} \]
\end{list}
\begin{list}{1-3.}{}
\item このコンデンサーを時刻$t = 0$で抵抗$R$を持つ内部抵抗で極板$A$、$B$を繋ぎ、放電させた。
時刻$t$に流れる電流$I(t)$を求めよ。\\\\
回路を一周した時の電位差は0なので、$V = IR$より
\begin{equation}
IR - \frac{Q}{C} = 0 
\end{equation}
この回路ではコンデンサーに蓄えられている電荷が減ることによって電流が流れれるので、
\[ I = -\frac{dQ}{dt} \]
である。(2)式の両辺を$t$で微分する
\[ R \frac{dI}{dt} + \frac{I}{C} = 0 \]
\[ \frac{dI}{dt} = - \frac{1}{RC}I \]
\[ I(t) = A \exp{(-\frac{1}{RC}t}) \]
ここで$t = 0$ではコンデンサーが作る電位差のみがついているので、
\[ V(t = 0) = \frac{Q}{C} \]
\[ I(t = 0) = \frac{Q}{RC} \]
である。よって時刻$t$に流れる電流$I(t)$は
\[ I(t) = \frac{Q}{CR} \exp{(-\frac{1}{RC}t)} \]
である。 \\
\end{list}
\begin{list}{1-4.}{}
\item 放電が完了するまでに抵抗で消費されたエネルギーは初めに
コンデンサーに蓄えられていたエネルギーに等しいことを示せ。\\\\
はじめにコンデンサーに蓄えられていたエネルギー$E_{c}$は
\[ E_{c} = \frac{Q^{2}}{2C} \]
である。一方で放電が完了するまでに抵抗で消費されたエネルギー$E_{R}$は
\[ E_{R} = \int^{\infty}_{0} I^{2}R \ dt = \int^{\infty}_{0} \frac{Q^{2}}{C^{2}R}
 \exp{(-\frac{2}{RC}t)} \ dt \]
\[ E_{R} = \frac{Q^{2}}{2C} \]
よって放電が完了するまでに抵抗で消費されたエネルギーは初めに
コンデンサーに蓄えられていたエネルギーに等しいことが示された。
\end{list}
\end{document}