\documentclass[titlepage,a4j,12pt]{jsarticle}
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\Dtitle{H20前期}
\begin{document}

\begin{center}{\textbf{\Large 問題I}}\end{center}

問1\\　
質量$m$の小球が，重力と速度$v$に比例する空気抵抗
$F_v=-bv$（$b$は正定数)を受けて垂直落下している．
重力加速度を$g$として，以下の問に答えよ．\\
　\\
1-1.
小球の位置を$z$，重力の働く向きを$+z$方向として，
小球に対するNewtonの運動方　　程式を立てよ．

\begin{quote}
（解）小球に対するNewtonの運動方程式は，
\begin{equation}
 m\frac{d^2 z}{dt^2}=mg-bv
\end{equation}
　　　と書ける．
\end{quote}

1-2.
この小球が落下の際に得る速さには上限値$v_f$が存在する．
$v_f$の表式を求めよ．

\begin{quote}
（解）$v=v_f$の時，小球は等速直線運動をしているので，
\[mg=bv_f \]
　　　よって，
\[v_f=\frac{mg}{b} \]
\end{quote} 

1-3.
初期時刻$t=0$に小球を静かに放し落下させた．運動方程式を解き，
$t(>0)$におけ　　る速度$v(t)$を求めよ．

\begin{quote}
（解）(1)式より，
\[m\frac{dv}{dt} =mg-bv \]
\begin{equation}
\frac{dv}{dt}=g-\frac{bv}{m}=-\frac{b}{m} (v-\frac{mg}{b})
\end{equation}
　　　ここで$v-mg/b=Ae^{{\lambda}t}$とおくと，
\[v=Ae^{{\lambda}t}+\frac{mg}{b} \]
\[\frac{dv}{dt}=A{\lambda}e^{{\lambda}t} \]
　　　これらを(2)式に代入して，$\lambda=-b/m$が得られる．従って，
\begin{equation}
v(t)=Ae^{-\frac{b}{m}t}+\frac{mg}{b}
\end{equation}
　　　初期条件より，
\[v(0)=A+\frac{mg}{b}=0 \] \[\to A=-\frac{mg}{b} \]
　　　が得られ，これと(3)式より，
\[v(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{-\frac{b}{m}t})\]
　　　が求まる．
　　　
\end{quote}

1-4.
$t$の関数としての$v(t)$の概形をグラフに表せ．

\begin{quote}
（解）$m=b=1$，$g=9.8$としてグラフをプロットした．\\
\includegraphics[width=10cm,bb=0 0 768 530]{graph.QI-1-4.bmp}

\end{quote}
\end{document}