\documentclass[titlepage,a4j,12pt]{jsarticle}
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\Dtitle{H20前期}
\Dauthor[安達 俊貴]{}
\begin{document}

\begin{center}{\textbf{\Large 問題V}}\end{center}

問1\\
　ベクトル$\bm{r}=(x,y,z)$に対し$r=|{\bm{r}}|$であり，
$\phi (r)$を実関数とする．以下の問に答えよ．\\

1-1.\ $\nabla \times (\phi (r) \bm{r})$を計算せよ．

\begin{quote}
(解)\ $r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$である．また，
$\bm{r}=x\bm{i}+y\bm{j}+z\bm{k}$と表記する．$\bm{i}$，
$\bm{j}$，$\bm{k}$は　　それぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸方向の単位ベクトルである．
これらを用いると，

\[\phi (r) \bm{r} = \phi(r)x\bm{i}+\phi(r)y\bm{j}+\phi(r)z\bm
{k} \]

　　と書ける．与式の$x$成分のみ計算すると，
\begin{align*}
[\nabla \times \phi (r) \bm{r}]_x 
&=\frac{\partial}{\partial y}(\phi(r)z)-\frac{\partial}{\partial z}(\phi(r)y) \\
&=\frac{\partial \phi }{\partial r}\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}z
 - \frac{\partial \phi }{\partial r}\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}y \\
&=0
\end{align*}
　　となる．$y$，$z$成分についても同様なので，
\[\nabla \times \phi (r) \bm{r} = \bm{0} \]
\end{quote} 

1-2.\ 原点$r=0$以外で$\nabla \cdot (\phi (r)\bm{r})=0$を満たす$\phi (r)$
を求めよ．
\begin{quote}
(解)\ 
\begin{align*}
\nabla \cdot (\phi (r)\bm{r}) 
&= \frac{\partial}{\partial x}(\phi (r) x)
 + \frac{\partial}{\partial y}(\phi (r) y)
 + \frac{\partial}{\partial z}(\phi (r) z) \\
&= 3\phi (r)
 + x\frac{\partial \phi (r)}{\partial x}
 + y\frac{\partial \phi (r)}{\partial y}
 + z\frac{\partial \phi (r)}{\partial z} \\
&= 3\phi (r)
 + x\cdot \frac{x}{r}\frac{\partial \phi (r)}{\partial r}
 + y\cdot \frac{y}{r}\frac{\partial \phi (r)}{\partial r}
 + z\cdot \frac{z}{r}\frac{\partial \phi (r)}{\partial r} \\
&= 3\phi (r) + r\frac{\partial \phi (r)}{\partial r}
\end{align*}
　　これが$0$になるので，
\begin{align*}
\frac{d\phi }{dr} &= -\frac{3}{r}\phi \\
\frac{d\phi}{\phi } &= -3\frac{dr}{r} \\
\int \frac{d\phi}{\phi } &= -3\int \frac{dr}{r} \\
\ln \phi &= -3\ln r = \ln r^{-3}
\end{align*}
　　よって，
\begin{align*}
\phi (r) = r^{-3} = (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{3}{2}}
\end{align*}
\end{quote}
　\\
問2 \\
　複素数において対数関数$w=\log z$は指数関数の逆関数として定義される．すなわち，
$z=e^w$が成り立つ．以下の問に答えよ．\\

1-1.\  $z$が極形式で$z=e^{i\theta }$
($r$，$\theta $は実数で$r\ge 0$)と表されるとき，
\begin{align}
\log z = \ln r + i(\theta + 2\pi n) \ \ \ (n=0,\pm 1,\pm 2,\dddot \ )
\end{align}
　　であることを示せ．ただし，上式で$\ln r$は実関数の対数関数である．
\begin{quote}
(解)
\begin{align*}
\log z &= \ln {re^{i\theta}} \\
       &= \ln r + \ln e^{i\theta}
\end{align*}
　　ここで$e^{i\theta} = e^{i(\theta + 2\pi n)} \ \ \ 
(n=0,\pm 1,\pm 2,\dddot \ )$なので，
\begin{align*}
\log z &= \ln r + \ln e^{i(\theta + 2\pi n)} \\
       &= \ln r + i(\theta + 2\pi n)
\end{align*}
　　よって示された．
\end{quote}　

1-2.\ 冪関数$w=z^a$($a$:複素数)は，$z^a=e^{a\log z}$と定義される．
これにより，次の2つの　　複素数をそれぞれ極形式にて表せ．
\begin{align*}
i^i,\ \ \ \ \ 1^{\sqrt{2}}
\end{align*}
\begin{quote}
(解)\ 
\begin{align*}
\log i &= \ln e^{i(\frac{\pi}{2} + 2\pi n)} \\
      &= i(\frac{\pi}{2} + 2\pi n)
\end{align*}
　　より，
\begin{align*}
i^i &= e^{i\log i} \\
    &= e^{-(\frac{\pi}{2}+2\pi n)}
\end{align*}
　　また，
\begin{align*}
\log 1 &= \ln e^{i(0 + 2\pi n)} \\
      &= i2\pi n
\end{align*}
　　より，
\begin{align*}
1^{\sqrt{2}} &= e^{\sqrt{2} \log 1} \\
             &= e^{2\sqrt{2} i \pi n}
\end{align*}
　　となる．
\end{quote}
\end{document}