\documentclass[a4paper,12pt]{jsarticle}

\begin{document}
\begin{list}{問３}{}
\item 偏微分方程式\\
\begin{equation} 
\frac{\partial f(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial ^2 f(x,t)}{\partial x^2}    (0\leq x \leq 1 , t \geq 0)
\end{equation}
の解$f(x,t)$が次の初期条件と境界条件を満たすものとする.
\begin{equation}
f(x,0)=g(x)
\end{equation}
\begin{equation}
f(0,t)=f(1,t)=0
\end{equation}
このとき,以下の問いに答えよ.\\\\
\end{list}


\begin{list}{}{}
\item [3-1.]変数分離の形$(f(x,t)=u(x)v(t))$で(3)式を満たす微分方程式(1)の解をすべて求めよ.(ここでは,(2)式の条件は考慮しなくてよい.)
\begin{quote}
\[f(x,t)=u(x)v(t)\] 
これを(1)式に代入して
\[ u(x)\dot{v(t)} = \ddot{u(x)}v(t)\]
\begin{equation}
\frac{ \ddot{u(x)} }{u(x)}= \frac{ \dot{v(t)} }{v(t)}
\end{equation}
ここで,$u(x)$,$v(t)$は互いに独立なので,(4)式が成り立つにはその値が定数でなければならない.その値を$\lambda$とする
\[ \ddot{u(x)} = \lambda u(x)\]
\[ \dot{v(t)} = \lambda v(x) \]
\item{}{(i) }$\lambda \geq 0$のとき
\[u(x)= \acute{A}\exp(\sqrt\lambda x)\]
\[v(t)= \acute{B}\exp(\lambda t)\]
となり,
\[f(x,t) = \acute{C}\exp(\sqrt\lambda x + \lambda t)\]
となるが,(2),(3)を満たす$f(x,t)$は$\acute{C} = 0$のときのみだが,$f(x,t) = 0$となってしまうのでここでは考えないことにする.
\item{}{(ii) }$\lambda < 0$のとき\\
$\lambda = -\alpha ^2$とおくと($\alpha$ :実数)
\[ \ddot{u(x)} = -\alpha ^2 u(x)\]
\[ \dot{v(t)} = -\alpha ^2 v(x) \]
\[u(x)= A\sin(\alpha x)+B\cos(\alpha x)\]
\[v(t)= C\exp(-\alpha ^2 t)\]
\begin{equation}
f(x,t) = \exp(-\alpha ^2 t)(A\sin(\alpha x)+B\cos(\alpha x)) 
\end{equation}
ここで,(3)式を考慮する,
\[ f(0,t) = B\exp(-\alpha ^2 t) = 0\]
\[B = 0\]
\[ f(1,t) = \exp(-\alpha ^2 t)(A\sin(\alpha)) = 0\]
上式を満たすには,$A=0$,$\alpha = n\pi$($n$は正の整数)の二通りの場合があるが,
$A=0$の場合$f(x,t)=0$となってしまうのでここでは考えない.よって
\[\alpha = n\pi\]
\begin{equation}
f(x,t) = A_n\exp(-(n \pi)^2 t)\sin n\pi x
\end{equation}
(1)の解は(6)式の重ね合わせで表わされるため,(1)のすべての解は,
\begin{equation}
f(x,t) =\sum_{n=1}^{\inf} A_n\exp(-(n \pi)^2 t)\sin n\pi x
\end{equation}
である.\\\\
\end{quote}
\end{list}


\begin{list}{}{}
\item [3-2.] 前問3-1 で得られた$u(x)$のうち,任意の2 つの解が満たす直交関係を書き下し,実際にそれが満たされていすことを示せ.\\
\begin{quote}
任意の2 つの解を$A_n \sin n \pi x$と$A_m \sin m \pi x$とすると($n,m$:正の整数),直行関係は以下のように書ける.
\[ \int_{0}^{1} A_n A_m\sin (n \pi x)\sin (m \pi x) \,dx  = \left( \begin{array}{cc} 0 &\mbox{($n \neq m$)} \\ \frac{1}{2} A_n A_m &\mbox{$(n=m)$} \end{array} \right. \]
以下では上式を証明する.なお,係数部分の$A_n$,$A_m$は証明には直接影響しないので係数部分は考えずに議論を進める.\\
\item{}{(i)}$n \neq m$のとき
\[ 左辺 = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \cos(n-m) \pi x - \cos(n+m) \pi x \, dx\]
\[      = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{(n-m)\pi}\sin(n-m)\pi x -\frac{1}{(n+m)\pi}\sin(n+m)\pi x \end{array} \right]_{0}^{1} \]
ここで,$n-m,n+m$はともに整数なので,$\sin$の値は$0$になる.ゆえに右辺の値は$0$になる。\\
\item{}{(ii)}$n = m$のとき
\[ 左辺 = \int_{0}^{1} (\sin n\pi x)^{2} \, dx\]
\[      = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 1 - \cos 2n\pi x \, dx\]
\[      = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{c}  x - \frac{1}{2n\pi}\sin 2n \pi x \end{array} \right]_{0}^{1} \]
\[      = \frac{1}{2}\]

以上,(i)(ii)より実際に満たされていることが示された.\\
\end{quote}
\end{list}


\begin{list}{}{}
\item [3-3.] さらに(2)式も満たす解は,3-1で求めた解の重ね合わせで表わされる.3-2で示した直交関係を用いて,
%\[g(x) = \left| \sin(2\pi x) \right| \]
\begin{equation}
g(x) = \left| \sin(2\pi x) \right|
\end{equation}
の場合に対し,解$f(x,t)$を求めよ.
\begin{quote}
(6)式において,(2)式と(8)式を代入すると,
\[A_n\sin n\pi x = \left| \sin(2\pi x) \right| \]
ここで,両辺に$ \sin m\pi x$をかけ0 から1 まで$x$ で積分する.
\[ A_n \int_{0}^{1} \sin m\pi x \sin n\pi x \,dx = \int_{0}^{1} \sin m\pi x \left| \sin(2\pi x) \right| dx\]
3-2の結果を用いることにより,$n=m$のとき
\[ \frac{1}{2} A_n = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin n\pi x \sin 2\pi x \, dx - \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sin n\pi x \sin 2\pi x \, dx \]
\[ A_n = \frac{2}{(n+2)\pi} \sin \frac{(n+2)}{2}\pi - \frac{2}{(n-2)\pi} \sin \frac{(n-2)}{2}\pi \]
$k$を整数として,\\
$n = 2k$のとき
\[A_n=0\]
$n = 2k + 1$のとき
\[A_n = \frac{2}{(2k+3)\pi} \sin\frac{2(k+1)+1}{2}\pi - \frac{2}{(2k-1)\pi} \sin\frac{2k-1}{2}\pi \]
\[A_n = \frac{2}{(2k+3)\pi} + \frac{2}{(2k-1)\pi} \]
\[A_n = \frac{4(k+1)}{(2k+3)(2k-1)\pi} \]
以上により,求める解$f(x,t)$は
\[ f(x,t) = \sum_{k=0}^{\inf}\frac{4(k+1)}{(2k+3)(2k-1)\pi}\exp{(-(2k+1)^2 t)}\sin (2k+1)\pi x \]
である.
\end{quote}
\end{list}


\end{document}

\begin{equation}
\end{equation}