\documentclass[a4paper,12pt]{jsarticle}
\begin{document}
\begin{list}{問２}{}
\item 長さ$l$の糸の一端を固定し,他端に質量$m$の小球を付けて,鉛直面内に振動させる.
重力加速度を$g$,また鉛直方向と糸のなす角を$\theta$として,以下の問に答えよ.\\\\
\end{list}
\begin{list}{}{}
\item[2-1.] 小球の運動方程式を求めよ.
\begin{quote}
\item[(解)]
\[  ml\frac{d^2 \theta}{d t^2} = -mg \sin \theta \]
\end{quote}
\item[2-2.] 
時刻$t=0$において$\theta (t=0)=\theta _{0}$の位置から小球を静かに放した.
ここで定数$\theta _{0}$は条件$0<\theta _{0}\ll 1$を満たすものとする.
方程式を解き,$t>0$における$\theta (t)$を求めよ.
\begin{quote}
\item[(解)]
初期条件は
\[\theta (t=0)=\theta _{0}\]
\[\frac{d \theta}{dt}| _{t=0} = 0\]
である.\\
また,$0<\theta _{0} \ll 1$より
\[\sin\theta _{0} \cong \theta _{0}\]
$\theta$が$0<\theta \leq \theta _{0}$の範囲で変化すると考えると,$\sin\theta \cong \theta$
とすることができる.\\
これにより,\\
\[\frac{d^2 \theta}{d t^2}= -\frac{g}{l}\theta \]
ここで$\theta$の特解を$\theta=\exp(\lambda t)$とおくと\\
$\displaystyle \lambda = i \sqrt\frac{g}{l}$となるので,$\theta$は\\   
\[ \theta (t) = A \sin \sqrt\frac{g}{l}t + B \cos \sqrt\frac{g}{l}t \] となる. \\
初期条件より,
\[ \theta (0) = B = \theta _{0} \]
また,$\displaystyle \frac{d \theta}{dt}|_{t=0} = \sqrt\frac{g}{l}A = 0$より\\
\[ A=0 \]
これにより
\[ \theta (t) = \theta _{0} \cos\sqrt\frac{g}{l}t \]
が求まる.\\\\
\end{quote}
\item[2-3.] 振動の周期$T$を求めよ.
\begin{quote}
\item[(解)]
周期$T$は\\
$\displaystyle T = \frac{2 \pi}{\lambda}$ と表せるので,振動の周期$T$は\\
\[ T = 2\pi \sqrt\frac{l}{g} \]
である.\\\\
\end{quote}
次に,小球には速度$v$に比例する摩擦力$F=-2m \gamma v$($\gamma$は正定数)が働くものとして，この微小振動に対する摩擦の影響を考察する.小球は，2-2の場合と同様に，$\theta (t=0) = \theta _{0} \ll 1$の位置から静かに離す．\\\\
\item[2-4.] この場合の運動方程式を書き下せ.
\begin{quote}
\item[(解)]
\[ ml\frac{d^2 \theta}{d t^2} = -mg\sin\theta -2ml\gamma\frac{d\theta}{dt} \]
\end{quote}
\item[2-5.] 小球の振動が可能であるための$\gamma$に対する条件,すなわち,小球が$\theta = 0$を通過するための$\gamma$の条件を求めよ。
\begin{quote}
\item[(解)]
2-2と同様に$\sin\theta \cong \theta$となるので,\\
\[ ml\frac{d^2 \theta}{d t^2} = -mg\theta -2ml\gamma\frac{d\theta}{dt}\]
となる.
また,$\theta$の特解を$\theta = A\exp(\lambda t)$とすると,運動方程式に代入することにより,\\
\[ l\lambda ^2 +2l\gamma\lambda +g =0 \]
となる.\\
ここで,小球が$\theta = 0$を通過するには,小球が振動するような運動になればよい.
つまり,上式が虚数解をもてば小球は振動するような運動になり.$\theta=0$を通過することができる.そこで,判別式を$D$とすると,\\
\[ D = 4l^2\gamma^2 - 4lg < 0 \]
\[ \gamma^2 < \frac{g}{l} \]
\[ -\sqrt\frac{g}{l} < \gamma < \sqrt\frac{g}{l} \]
これが,求める$\gamma$の条件である.\\
\end{quote}
\item[2-6.] 前問の条件が満足される場合について運動方程式を解き,$\theta(t)$を求めよ.
\begin{quote}
\item[(解)] 
初期条件は2-2のときと同じである.\\
2-5の条件下において,$\lambda$は\\
\[ \lambda = -\gamma \pm i\sqrt\frac{g-l\gamma ^2}{l} \]
とあらわすことができる.\\
ここで,$\displaystyle \omega = \sqrt\frac{g-l\gamma ^2}{l}$とおくと,$\theta$は,\\
\[ \theta(t) = A\exp(-\gamma t)\cos\omega t + B\exp(-\gamma t)\sin\omega t \]
となる.\\
初期条件より$\displaystyle \frac{d \theta}{dt} |_{t=0} = 0$なので,\\
\[ \dot\theta(0) = -A\gamma + B\omega = 0 \]
また,$\theta(0) = \theta_{0}$より,
\[ A=\theta_{0} \]
よって,\\
\[ B = \frac{\gamma}{\omega}\theta_{0} \]
以上により,求める$\theta(t)$は,
\[ \theta(t) = \theta_{0}\exp(-\gamma t) (\cos\omega t + \frac{\gamma}{\omega}\sin\omega t) \]
ただし,$\displaystyle \omega = \sqrt\frac{g-l\gamma ^2}{l}$\\
\end{quote}
\item[2-7.] 振動の周期$T$および振幅が$e^{-1}$倍になるまでの時間$\tau$を書き下せ.また$\theta(t)$の概形を$t$の関数としてかけ.
\begin{quote}
\item[(解)]
周期$T$は2-3同様\\
$\displaystyle T = \frac{2 \pi}{\lambda}$で表わされるので,振動の周期$T$は\\
\[ T = 2\pi\sqrt\frac{l}{g-l\gamma ^2}\]
となる.\\
また,振幅は$\theta_{0}\exp(-\gamma t)$の部分で表わされる.\\
振幅が$e^{-1}$倍になるときの振幅は$\theta_{0}e^{-1}$であり,このときの時間が$\tau$であるので,\\
\[ -\gamma\tau = -1 \] より\\
\[ \tau = \frac{1}{\gamma} \]
である.
\end{quote}
\end{list}
\end{document}