\documentclass[titlepage,a4j,12pt]{jsarticle}
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\begin{document}

\begin{center}{\textbf{\Large 問題}}\end{center}
問1


半径がa である２枚の薄い円盤状電極を、真空中で間隔d ($\ll$ a) を開けて平
行に対置したコンデンサーについて考える。以下、コンデンサーに電荷が蓄えられている場
合、電場は両電極間（コンデンサー内部）にしか無く一様で、その方向は電極に垂直であると
する。また、真空の誘電率と透磁率を、それぞれ$\varepsilon_0$,$\mu_0$ とする。
\\

まず、コンデンサーの上部電極と下部電極に、それぞれ一定電荷$+Q_0$（$Q_0\ge0$）と$-Q_0$
が蓄えられている状態（状態A）を考える。このときのコンデンサー内部の電場の大きさをE
とする。
\\
1-1. ガウスの法則を用いてE と$Q_0$ の関係を導け。ただし、積分する面を図示し、その図に
	基づいて導出過程を記せ。
\begin{quote}
(解)ある半径r(r$\ll$a)をとり、その微小変位r+drとrで囲まれた面積をdSとすると、
\[dS=2\pi rdr \]
\[\int \boldE \cdot \boldn dS \]
\[=\int_0 \varepsilon_0 \boldE \cdot 2\pi rdr \]
これを解くと
\[\varepsilon_0 \pi r^2 E = Q_0 \]
が求まる。
\end{quote}
1-2. 図１のように、矢印付きの破線で示したコンデンサー内部の経路（本紙面上で左上がり
の直線経路）に沿って、微小電荷$\Delta$q を下部電極のK 点から上部電極のL 点まで、ゆっ
くりと運んだとする。このとき必要な仕事X を、仕事の定義にしたがって線積分により
求め、その結果をE の関数として書け。
\begin{quote}
(解)KからLまでの経路rとする。
\[X= \int_c \Delta q \boldE \cdot d \boldr \]
\[= \int_c \Delta q(E_xdx+E_ydy) \]
\[= \Delta qEd \]
\end{quote}
1-3. 1-1、1-2 の結果を踏まえて、両電極に電荷が全く無い状態から、状態A を実現するた
めに必要な仕事W を$Q_0$、a、d、$\varepsilon_0$ だけの関数として求めよ。さらに、この仕事W が
電場のエネルギーとしてコンデンサー内部の空間に蓄えられるとしたとき、単位体積あ
たりの電場のエネルギーw をE の関数として書け。
\begin{quote}
(解)
1-2より、
\[X= \Delta qEd \]
\[\Delta q=dqのとき、X=dW \]
\[よって、dW=Ed \cdot dq \]
電荷がq(>0)たまった時の電場を
\[E(q)=\frac{q}{\varepsilon_0 \pi a^2} 　　とすると、\]
\[dW=\frac{d}{\varepsilon_0 \pi a^2}qdq \]
\[\int dW=\int \frac{d}{\varepsilon_0 \pi a^2}qdq \]
\[よって、W=\frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2 d}{\varepsilon_0 \pi a^2} \]
コンデンサー内部の体積をVとすると
\[V=\pi a^2 \cdot d より \]
\[w=\frac{1}{2} \frac{Q}{\pi a^2}E \]
\[=\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 \]
\end{quote}
1-4. 状態A において、上部電極の単位面積あたりに働いている力の大きさF をE の関数と
して導け。なお、導出の際、上部電極を上方に微小距離$\Delta$d だけ仮想変位するときに必
要な仕事を考慮せよ。
\begin{quote}
(解)
以下では、円盤の面積全体に働く力を$F'$とおく。
\\
上部電極を上に$\Delta$dだけ動かした事によるエネルギーの増加を$\Delta$Uとすると、
\begin{equation}
\-F'\Delta d=\Delta U
\end{equation}   
コンデンサーの静電エネルギーは極電間の電位差をVとして、容量をCとすると、
\[U=\frac{1}{2} QV=\frac{1}{2C}Q_0^2 \]
であり、仮想変位の間は$Q_0$は一定だから
\[\Delta U=\frac{Q_0^2}{2} \cdot \frac{1}{\Delta C} =\frac{Q_0^2}{2} \cdot \frac{\Delta d}{\varepsilon_0 S} \] 　　　　　　
\[ただし、C=\frac{d}{\varepsilon_0 S}であり、S=\pi a^2 である \]
これを(1)に代入して
\[F'=-\frac{Q_0^2}{2\varepsilon_0 S} \]
\[=-\frac{1}{2}Q_0E \]
よって、単位面積あたりに働く力Fは
\[F=-\frac{Q_0E}{2\pi a^2} = -\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \]
\end{quote}

次に、状態A にあるコンデンサーの両電極間を、時刻t = 0 で抵抗R（コンデンサーの外部
にある）を介して繋いだ場合を考える。なお、任意の時刻t ($\geq$0) におけるコンデンサー内部
の電場は、その時に電極にある電荷$\pm$Q(t) だけで決まるとする。

1-5. 上部電極の電荷の時間変化Q(t) (t$\geq$0) を決める微分方程式をたて、その解を求めよ。
なお、コンデンサーの静電容量はC とすること。
\begin{quote}
(解)
時刻tで流れる電流をI(t)とすると
\[RI+\frac{1}{C}Q=0 \]
\[I=\frac{dQ}{dt}を用いてRで割ると \]
\[\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{CR}Q=0 \]
\[Q(t)=Aexp(\lambda t) と仮定すると \]
\[A\lambda exp(\lambda t)=-\frac{1}{CR}\cdot Aexp(\lambda t) \]
\[\lambda=-\frac{1}{CR} \]
\[Q(0)=Q_0より、Q(t)=Q_0exp(-\frac{t}{CR}) \]
\end{quote}
1-6. コンデンサー内部の電場が時間変化するために生ずる磁束密度について考える。図１に
示すように、コンデンサーの中心軸から距離r ($\le$ a) の点P における磁束密度の大きさ
B(r,t) をQ(t) の関数として求めよ。
\begin{quote}
(解)
\[rot\frac{\boldB}{\mu_0}=I+\frac{\partial \boldD}{\partial t}　　　　(ただし、\boldD=\varepsilon_0 \boldE である。) \]
\[\boldE=\frac{Q(t)}{\varepsilon_0 \pi a^2} \]
\[I=0を代入して \]
\[rot\boldB=\frac{\mu_0}{\pi a^2}\frac{\partial Q(t)}{\partial t} \]
\[=\frac{\mu_0}{\pi a^2}\cdot \{ -\frac{1}{CR}Q_0exp(-\frac{t}{CR}) \} \]
\[\int_c \boldB dS=\int_s \frac{-\mu_0 Q(t)}{\pi a^2CR}\cdot \boldn dS \]
\[\boldB \cdot L\pi r=\frac{\mu_0 Q(t)}{\pi a^2CR}\cdot \pi r^2 \]
\[B=-\frac{\mu_0 Q(t)}{2\pi a^2CR}\cdot r \]
\end{quote}
\end{document}