\[ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \] なので，各偏微分は， \[ \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},\quad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\quad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}. \] したがって， \[ \boxed{\nabla r = \left(\frac{x}{r},\, \frac{y}{r},\, \frac{z}{r}\right).} \]
\[ \boldsymbol{r}=(x,y,z) \] なので， \[ \nabla \cdot \boldsymbol{r}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3. \] よって， \[ \boxed{\nabla \cdot \boldsymbol{r} = 3.} \]
直感的に，位置ベクトル \( \boldsymbol{r} \) は回転成分を持たないので， \[ \nabla \times \boldsymbol{r} = (0,0,0). \] 厳密に各成分を計算しても \[ (\nabla\times \boldsymbol{r})_x = \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial y}{\partial z} = 0-0 = 0, \] \[ (\nabla\times \boldsymbol{r})_y = \frac{\partial x}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial x} = 0-0 = 0, \] \[ (\nabla\times \boldsymbol{r})_z = \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} = 0-0 = 0, \] となる． \[ \boxed{\nabla \times \boldsymbol{r} = (0,0,0).} \]
ベクトル場は，
\[
\frac{\boldsymbol{r}}{r^2} = \left(\frac{x}{r^2},\frac{y}{r^2},\frac{z}{r^2}\right),
\]
ただし，\(r^2 = x^2+y^2+z^2\).
各成分の偏微分を求めると，
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^2}\right)
= \frac{r^2 - 2x^2}{r^4}.
\]
\[
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r^2}\right)
= \frac{r^2 - 2y^2}{r^4}.
\]
\[
\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r^2}\right)
= \frac{r^2 - 2z^2}{r^4}.\]
となる．
分子をまとめると，
\[
(r^2-2x^2)+(r^2-2y^2)+(r^2-2z^2)
= 3r^2 - 2(x^2+y^2+z^2)
= 3r^2 - 2r^2 = r^2.
\]
よって，
\[
\nabla \cdot \left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^2}\right)
= \frac{r^2}{r^4} = \frac{1}{r^2}.
\]
\[
\boxed{\nabla \cdot \left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^2}\right) = \frac{1}{r^2}.}
\]
ア.\(\to\)成り立つ(任意のベクトル場に対して発散の回転はゼロ)
イ.\(\to\)成り立つ(任意のスカラー場に対して勾配の回転はゼロ)
ウ.\(\to\)成り立たない(\(A \times B = - (B \times A) \))
エ.\(\to\)成り立たない(\(A \cdot B = B \cdot A \))
オ.\(\to\)成り立つ
カ.\(\to\)成り立たない(\(A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C\))
円筒座標を用いる．変数変換は，
\[
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
\]
これに対し，ヤコビ行列\(J\)は各成分について偏微分をとって，
\[
J =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z} \\[1mm]
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\[1mm]
\frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z}
\end{pmatrix}.
\]
それぞれ計算すると
\[
J = \begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\[1mm]
\sin\theta & r\cos\theta & 0 \\[1mm]
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
上2行・2列の部分行列の行列式を計算すると，
\[
\det \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\[1mm] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}
= (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta)
= r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)= r.
\]
下の\(z\)成分については，1 であり、他の成分は0であるから，全体の行列式は，
\[
\det J = r\cdot 1 = r.
\]
したがって，変数変換による体積要素は，
\[
dV = |\det J|\,dr\,d\theta\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.
\]
領域\(D\)の条件より，\(r^2\le z\)
固定された\(r\)に対して，\(z\)の下限は\(z=r^2\)となり，上限は\(z=2\)
さらに，\(z=r^2\) となるためには \(r^2\le2\) すなわち\(0\le r\le \sqrt{2},\)
また，角度\(\theta\)は\(0\le\theta\le2\pi\)
したがって，積分は円筒座標で，
\[
I=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{2}}\int_{z=r^2}^{2} z^2\,\Bigl[r\,dz\,dr\,d\theta\Bigr].
\]
\(z\)に関する積分は，
\[
\int_{z=r^2}^{2} z^2\,dz
=\left[\frac{z^3}{3}\right]_{z=r^2}^{2}
=\frac{2^3}{3} - \frac{(r^2)^3}{3}
=\frac{8}{3}-\frac{r^6}{3}
=\frac{8-r^6}{3}.
\]
よって\(I\)は，
\[
I=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{2}} \frac{8-r^6}{3}\, r\,dr\,d\theta.
\]
定数\(\frac{1}{3}\)と\(\theta\)に関する積分を外に出すと，
\[
I=\frac{1}{3}\left(\int_{\theta=0}^{2\pi}d\theta\right)
\left(\int_{r=0}^{\sqrt{2}} (8r-r^7)\,dr\right)
=\frac{2\pi}{3}\int_{r=0}^{\sqrt{2}} (8r-r^7)\,dr.
\]
\(r\)に関する積分を項ごとに分けて行う．
まず，
\[
\int_{0}^{\sqrt{2}} 8r\,dr = 8\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^{\sqrt{2}}
=8\left(\frac{(\sqrt{2})^2}{2}\right)
=8\left(\frac{2}{2}\right)
=8.
\]
次に，
\[
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^7\,dr = \left[\frac{r^8}{8}\right]_0^{\sqrt{2}}
=\frac{(\sqrt{2})^8}{8}
=\frac{16}{8}
=2.
\]
よって，
\[
\int_{0}^{\sqrt{2}} (8r-r^7)\,dr = 8-2=6.
\]
これを\(I\)に代入すると，
\[
I=\frac{2\pi}{3}\times 6 = 4\pi.
\]
\[
\boxed{\iiint_D z^2\,dxdydz = 4\pi.}
\]