まず，任意の閉じた体積\(V\)内でマクスウェル方程式を積分する． \[ \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{E}\,dV = \iiint_V \frac{\rho}{\varepsilon_0}\,dV. \] 右辺は，体積\(V\)内に含まれる総電荷\(Q_{\text{enc}}\)を用いて \[ \iiint_V \rho\,dV = Q_{\text{enc}}, \] と書けるので， \[ \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{E}\,dV = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}. \] 次に，ガウスの発散定理を適用すると， \[ \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{E}\,dV = \iint_S \mathbf{E}\cdot\mathbf{n}\,dS. \] 以上より， \[ \iint_S \mathbf{E}\cdot\mathbf{n}\,dS = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}. \] この法則は\(\boldsymbol{ガウスの法則}\)と呼ばれる．
球殻の内部\(r<a\)で、中心\(O\)を中心とする半径\(r\)の球面\(S_r\)を考える．
この球面は球殻の内部に完全に含まれるが，球殻の電荷は\(r=a\)上に存在するため，\(r<a\)の球面は電荷を一切囲まない．すなわち，
\[
Q_{\text{enc}} = 0.
\]
ガウスの法則より，
\[
\iint_{S_r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} = 0.
\]
一様な対称性より，電場は\(r\)のみの関数で，外向きの放射状となるので，
\[
\iint_{S_r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = E(r)\cdot 4\pi r^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad E(r)=0.
\]
よって，内部の電場は，
\[
\boxed{\mathbf{E}_{\mathrm{in}}(r)=\mathbf{0}\quad (r<a).}
\]
球殻の外部\(r>a\)で、中心\(O\)を中心とする半径\(r\)の球面\(S_r\)を考える．
球殻全体の面積は\(4\pi a^2\)であり，面電荷密度が\(\sigma\)なので，球殻に分布する総電荷は，
\[
Q_{\text{enc}} = \sigma\,(4\pi a^2).
\]
この\(Q\)が，\(r>a\)の球面\(S_r\)により囲まれる．
ガウスの法則より，
\[
\iint_{S_r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
\]
対称性より，電場は球面上一様かつ外向きなので，
\[
\iint_{S_r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = E(r)\, (4\pi r^2) = \frac{\sigma\,(4\pi a^2)}{\varepsilon_0}.
\]
解いて，
\[
E(r) = \frac{\sigma\, 4\pi a^2}{4\pi \varepsilon_0\, r^2} = \frac{\sigma\, a^2}{\varepsilon_0\, r^2}.
\]
電場ベクトルは外向きの放射方向(単位ベクトル\(\mathbf{\hat{r}}\))に沿うので，内部の電場は，
\[
\boxed{\mathbf{E}_{\mathrm{out}}(r)=\frac{\sigma\, a^2}{\varepsilon_0\, r^2}\,\mathbf{\hat{r}}\quad (r>a).}
\]
\[
\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}
\]
の線積分は，閉路\(C\)に沿って電場\(\mathbf{E}\)が作る\(\boldsymbol{誘導起電力}\)を表す，
よって，(あ)には\(\boldsymbol{「誘導起電力」}\)または\(\boldsymbol{「起電力」}\)が入る．
式\((2)\)の右辺は\(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \)で，面積分すると，
\[
-\frac{d}{dt}\iint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S},
\]
となり，すなわち，面\(S\)を通る磁束(磁場)の時間変化を示している．
よって，(い)には\(\boldsymbol{「磁束」}\)または\(\boldsymbol{「磁場」}\)が入る．
以上から，式\((2)\)は「誘導起電力＝−(磁束の時間変化)」という形になっており，
これはファラデーの電磁誘導の法則を一般化したものである．
よって，(う)には\(\boldsymbol{「ファラデーの電磁誘導の法則」}\)または\(\boldsymbol{「ファラデーの法則」}\)が入る．
マクスウェル方程式の式\((1)\)\(\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\)は，電場の発散が局所の電荷密度(電荷の存在)に依存することを示す．
一方，式\((3)\)\(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\)は，磁場はどこでも発散がゼロであり，すなわち磁荷(磁単極子)は存在しないことを意味する．
解答例:
「電場は電荷の存在により発散を持つが，磁場は磁荷が存在せず常に発散がゼロである．」(39字)
与式，
\[
c^2\,\nabla \times \mathbf{B} = \frac{\mathbf{j}}{\varepsilon_0}
\]
は，真空中の関係\(\mu_0 \varepsilon_0 = 1/c^2\)を使って，
\[
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\, \mathbf{j}
\]
と書き換えられる．これはアンペールの法則と呼ばれている．
答え:
「アンペールの法則」
アンペールの法則は，ストークスの定理より， \[ \iint_S (\nabla \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{n} d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} \] と変形できる．このとき，右辺は， \[ \oint_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I, \] ここで，閉路\(C\)は半径\(r\)の円で，対称性から磁場の大きさ\(B\)は一定， かつ磁場の向きは円周方向(外向きの接線方向)となるので， \[ \oint_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = B\,(2\pi r) = \mu_0 I. \] よって， \[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}. \] 答え: \[ \boxed{B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,.} \]
右ねじの法則により，磁場は電線を中心とした円周方向に，上から見て反時計回りとなる．