全体の分子数密度は\(n\)であるが，運動は6方向に均等に分布しているので，\(x\)軸正方向に運動する分子の数密度は， \[ \frac{n}{6}. \] したがって，容器内の任意の体積あたり，x 軸正方向に運動している分子の数は \[ \boxed{\frac{n}{6}}. \]
\(x\)軸正方向に速度\(v\)で運動する分子の運動量は\(mv\)．
弾性衝突では，速度の大きさは変わらず反転するので，跳ね返った後は速度が\(-v\)となり，運動量は\(-mv\)になる．
したがって，運動量の変化は，
\[
\Delta p = (-mv) - (mv) = -2mv.
\]
\[
\boxed{-2mv.}
\]
またこのとき，分子1個が壁に与える力積の大きさは，
\[
2mv.
\]
問1より，\(x\)軸正方向に運動する分子の数密度は，\(\frac{n}{6}\)．
これらの分子は速度\(v\)で移動しているので，単位時間に，壁に向かって進む距離は\(v\)．
したがって，単位時間あたり，単位面積に衝突する分子数は，
\[
\boxed{\frac{n\,v}{6}}.
\]
圧力は，「単位面積あたりに壁に与える力」である．
問2より，分子1個が1回の衝突で壁に与える力積の大きさは\(2mv\)．
問3より，単位時間・単位面積に衝突する分子数は\(\frac{nv}{6}\)であるため，
壁が単位面積当たりに受ける力(=圧力)は，
\[
\left(\frac{n\,v}{6}\right)\times 2\,m\,v = \frac{n\,m\,v^2}{3}.
\]
これが圧力\(P\)なので，
\[
\boxed{P = \frac{nmv^2}{3}.}
\]
分子1個の運動エネルギーは， \[ \frac{1}{2} m v^2. \] 容器内の全分子数は\(nV\)個であるから， \[ E = nV \cdot \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} n m v^2 V. \] 一方，問4より，\(P= \frac{n m v^2}{3}\)，よって， \[ P\,V = \frac{n\,m\,v^2}{3}\,V = \frac{n\,m\,v^2\,V}{3}. \] 比べると， \[ \frac12\,n\,m\,v^2\,V = \frac{3}{2} \times \frac{n\,m\,v^2\,V}{3}. \] すなわち， \[ P V = \frac{2}{3}\,E, \quad E = \frac{3}{2}\,P V. \] \[ \boxed{E = \frac{1}{2} n m v^2 V, \quad E = \frac{3}{2} P V.} \]
気体の分子の平均運動エネルギーについて、分子1個の運動エネルギーは，
\[
\frac{1}{2} m\,v^2 = \frac{3}{2} k_B T
\]
と表せる．(\(k_B\)はボルツマン定数)ここでは，\(k_B = \frac{R}{N_A}\)なので，
\[
\frac{1}{2} m\,v^2 = \frac{3}{2}\,\frac{R}{N_A}\,T.
\]
これを解いて，
\[
v^2 = \frac{3R\,T}{N_A\,m} \quad \Longrightarrow \quad v = \sqrt{\frac{3R\,T}{N_A\,m}}.
\]
また，\(1mol\)の気体では，モル質量\(M\)(kg/mol)は\(M = N_A\,m\)である(分子1個の質量が\(m\)，\(1mol\)なので\(N_A\)個ある)ので，
\[
v = \sqrt{\frac{3\,R\,T}{M}},
\]
と置き換えることができる.
\[
\boxed{v = \sqrt{\frac{3\,R\,T}{N_A\,m}}.}
\]
(あれ？この問題，問題文だと「\(R,N_A,T\)を用いて表せ」とあるぞ？\(m\)は使えないのでは？)
\(\rightarrow\)実際，次元解析をすると，
\(R\)は気体定数で，通常の次元は，
\[
[R] = \frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}^2\cdot\text{mol}\cdot\text{K}}.
\]
温度\(T\)の次元は，
\[
[T] = \text{K}.
\]
\(N_A\)は\(1mol\)あたりの粒子数で，次元は，
\[
[N_A] = \frac{1}{\text{mol}}.
\]
質量\(m\)の次元は，
\[
[m] = \text{kg}.
\]
よって，
\[
v = \sqrt{\frac{3\,R\,T}{N_A\,m}}
\]
の次元は，
\[
\left[\frac{R\,T}{N_A\,m}\right] = \frac{\frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}^2\cdot\text{mol}}}{\frac{\text{kg}}{\text{mol}}}
= \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{s}^2\cdot\text{mol}} \times \frac{\text{mol}}{\text{kg}} = \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}.
\]
より，ルートを取ると，
\[
\left[\sqrt{\frac{R\,T}{N_A\,m}}\right] = \frac{\text{m}}{\text{s}},
\]
なので，速度の次元となる．逆に言えば，\(m\)がなければ，速度の次元にはならないことがわかる．
以上より，この問題は出題ミスの可能性が高い．実際私も試験本番で全然解けずに超焦った記憶がある．
(もっとも，物理選択の受験生は私しかいなかったし，その私も受かっているので良しとしておきましょう．)
問1より， \[ v = \sqrt{\frac{3\,R\,T}{M}}. \]
温度7℃より，\(T=7+273=280\)．
また，モル質量は\(0.032\,\mathrm{kg/mol}\)．よって，
\[
v_{O_2}
= \sqrt{\frac{3\,R\,T}{0.032}}
= \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 280}{0.032}}
\approx 467 \,\mathrm{m/s}.
\]
同様に，温度47℃より，\(T=47+273=320\)．
また，モル質量は\(0.028\,\mathrm{kg/mol}\)．よって，
\[
v_{N_2}
= \sqrt{\frac{3\,R\,T}{0.028}}
= \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 320}{0.028}}
\approx 534 \,\mathrm{m/s}.
\]
以上より，差は約\(67\,\mathrm{m/s}\)．