Hamilton力学へ-Hamiltonの運動方程式

力学変数の変更

Lagrange力学では、基本的な量としてラグランジアン$L=K-U$を用い、最小作用の原理からEuler-Lagrange方程式： \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\] という運動方程式を立てた。この式は一般化座標同士の変換（点変換）において式の形を変えない、つまり、点変換について共変的な方程式である。この式は力学変数として$q_i,\dot{q_i}$を取っているが、$\dot{q_i}$の代わりに、一般化運動量$p_i={\partial L}/{\partial \dot{q_i}}$を用いて運動方程式を立ててみよう。以前に示したように一般化座標$q_i$と一般化運動量$p_i$が双対性を持つからである。このような深い関係の片鱗は、例えばNoetherの定理や量子力学における不確定性関係などに見ることができるが、我々もそれに倣って位置と運動量で力学を構成することにする。

Hamiltonの正準方程式

最小作用の原理を出発点としよう。最小作用の原理とは、作用$S$という量に、 \[\delta S=\delta \int_{t_1}^{t_2} L\,dt=0\] という極値条件を仮定するものであった。ここでTaylor展開を行えばEuler-Lagrange方程式が得られるが、$q,p$変数で記述するという目的を達成するために$L(q,\dot{q})=\sum_i p_i\dot{q_i}-H(q,p)$というLegendre変換を行ってみる。このときに出てくる新たな量：$H$は、ハミルトニアン(Hamiltonian)と呼ばれている。これを用いて作用の変分を考えると、 \begin{align} \delta S&=\int_{t_A}^{t_B}\delta \left(\sum_i p_i\dot{q_i}-H\right)\,dt\notag\\ &=\int_{t_A}^{t_B}\left[\sum_i\left(p_i\delta\dot{q_i}+\dot{q_i}\delta p_i\right)-\delta H\right]\,dt\notag\\ &=\int_{t_A}^{t_B}\sum_i \left(p_i\delta\dot{q_i}+\dot{q_i}\delta p_i-\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i-\frac{\partial H}{\partial p_i}\delta p_i\right)\,dt\notag\\ &=\sum_i\,[p_i\delta q_i]_{t_A}^{t_B}-\int_{t_A}^{t_B}\sum_i\left(\dot{p_i}\delta q_i+\dot{q_i}\delta p_i-\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i-\frac{\partial H}{\partial p_i}\delta p_i\right)\,dt\notag\\ &=\int_{t_A}^{t_B}\sum_i\left[\left(\dot{q_i}-\frac{\partial H}{\partial p_i}\right)\delta p_i-\left(\dot{p_i}+\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)\delta q_i\right]\,dt \end{align} とできる。この式が恒等的に0になるためには、 \begin{gather} \dot{q_i}=\frac{\partial H}{\partial p_i},\notag\\ \dot{p_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}\notag \end{gather} の二つの式を同時に満たす必要がある（変分学の基本命題）。これを、Hamiltonの正準方程式(Hamilton's canonical equation)と呼ぶ。この方程式は運動方程式と等価な一階の微分方程式であり、自由度の関係上、二つの方程式からなる。この式がEuler-Lagrange方程式よりも優れているのは対称性が高いという点である。これについてはのちに述べることにする。このように、$q_i,\dot{q_i}$を力学変数としていたLagrange力学に対して、$q_i,p_i$を力学変数とする力学をHamilton力学(Hamilton mechanics)と呼び、Hamilton力学を成す二つの変数$q_i,p_i$を正準変数(Canonical variables)という。Hamiltonの正準方程式はHamilton力学における基礎方程式となっている。

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Last update: 2020/01/28