Poisson括弧式

物理量の時間発展とPoisson括弧式

力学変数$q_i,p_i$で表現される物理量$A(\{q_i\},\{p_i\})$の時間発展を考えてみよう。微分の連鎖律を考えれば、 \[\frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\sum_{i}\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{dq_i}{dt}+\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{dp_i}{dt}\right)\] となる。ここに、Hamiltonの正準方程式を代入すれば、 \[\frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)\] という反対称性を意識させる表式が得られる。この反対称部分すなわち第二項と第三項を合わせて、Poisson括弧(Poisson braket) \[[A,H]=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right)\] を定義することができる。Poisson括弧を考えることは、古典力学と量子力学、特に量子力学の中でもHeisenbergの行列力学との対比において重要である。以下にPoisson括弧の性質を示しておく。 \begin{align} &[A,B]=-[B,A],\\ &[A,BC]=[A,B]C+[A,C]B,\\ &[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0,\\ &[A,B]'=[A',B]+[A,B']. \end{align} 第一式は反対称性、第二式と第四式はLeibnitz則、第三式はJacobiの恒等式(Jacobi's identity)を表していて、これらの性質はPoisson括弧がLie括弧積(Lie braket)であることを示している。また、Hamiltonの方程式は、Poisson括弧を用いて、 \begin{equation} \dot{q_i}=[q_i,H],\quad\dot{p_i}=[p_i,H] \end{equation} と表すことができる。

Poisson括弧と連続変換

ハミルトニアンとのPoisson括弧は物理量の時間発展を表現したことについてもう少し考察してみる。物理量$A$は時間に陽に依存しないとしよう。つまり、この物理量の変化は、質点の位置や運動量の変化によってのみ行われるものとする。有限時間$\Delta t$の時間発展を考えるために、最初に十分に大きな$N$で微小時間に区切って考える。時間$\Delta t/N$経過した後の物理量を$A_{\Delta t/N}'$とおけば、 \begin{equation} A_{\Delta t/N}'=A+[A,H]\frac{\Delta t}{N}=\left(\hat{1}+\frac{\Delta t}{N}\hat{H}\right)A\quad (N\to\infty) \end{equation} と書ける。この式に出てきた$\hat{1}$は恒等演算子であり、$\hat{H}$はハミルトニアンとのPoisson括弧を返す演算子である。すなわち、$\hat{H}A=[A,H].$ このように$A$への作用を意識することによって、微小時間発展演算子$\hat{T}_{\Delta t/N}=\hat{1}+\frac{\Delta t}{N}\hat{H}$を定義することができる。この微小時間発展演算子を$N$回作用させることによって、有限時間$\Delta t$の時間発展演算子$\hat{T}_{\Delta t}$を考えてみれば、$\hat{H}$の作用が一定であるとみなせる範囲で、 \[\hat{T}_{\Delta t}=\left(\hat{1}+\frac{\Delta t}{N}\hat{H}\right)^N=\exp(\Delta t\hat{H})\quad (N\to\infty)\] とシンプルな指数写像で形式的に表現できる。なお、ここでは、Napier数の定義式を拡張させて得られる指数関数の定義を用いている。

次に、物理量の変化を一般化座標の並進変換、すなわち座標の変化で表現してみよう。時間の例と同じように、位置のずれ$\Delta q$を十分大きな$N$で分割して、微小並進変換$\hat{X}_{\Delta q/N}$を考えてみる。$\partial A/\partial q=[A,p]$であるので、$\hat{p}A=[A,p]$と演算子で表現して、 \[\hat{X}_{\Delta q/N}=\hat{1}+\frac{\Delta q}{N}\hat{p}\] となる。これを$N$回作用させて、有限並進変換とすれば、$\hat{p}$の作用が一定とみなせる範囲で、 \[\hat{X}_{\Delta q}=\left(\hat{1}+\frac{\Delta q}{N}\hat{p}\right)^N=\exp(\Delta q\,\hat{p})\] を得る。

そもそも、時間発展も空間並進も変数$\Delta t,\Delta q$について連続変換であり、また、群構造を持つ。群構造を持つことは、以下の三つの要請を満たすことから確認できる。

単位元が$\Delta t,\Delta q=0$のときであること
逆元が$-\Delta t,-\Delta q$のときであること
結合的であること

このような、連続パラメーターによってすべての元が表現できる群をLie群(Lie group)と呼ぶ。Lie群は連続パラメーターで表され、さらに滑らかであるため、「座標」による表現が可能である。つまり、Lie群は群構造を持つ多様体であると言える。

先の指数写像は、「$\hat{H},\hat{p}$の作用が一定とみなせる範囲で」という条件からも分かるように、Lie群の局所群構造を反映するものである。指数写像$\exp(\Delta t\hat{H})$における$\hat{H}$のようにパラメーターの係数となっている部分を生成子(Generator)と呼び、Lie群の局所的構造を決定するうえで重要となる量である。先のような状況は、「時間発展はハミルトニアン（とのPoisson括弧）で生成される」あるいは「空間並進は運動量（とのPoisson括弧）で生成される」などとも言う。詳しくはLie群の項（未着手です…）を参照されたい。

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