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力学変数同士のPoisson括弧について考えてみると、
\begin{equation}
[q_i,q_j]=[p_i,p_j]=0,\ [q_i,p_j]=\delta_{ij}
\end{equation}
が得られる。これを古典正準交換関係(Classical canonical commutation relations, Classical-CCR)と呼ぶ。
Poisson括弧が代数を成す有名な例を紹介する。角運動量集合$\mathbb{L}=\{\pm L_x,\pm L_y,\pm L_z, 0\}$に、閉じた演算としてPoisson括弧を置くことができる。$L_i=\epsilon_{ijk}x_jp_k,\ L_l=\epsilon_{lmn}x_mp_n(i\neq l)$同士のPoisson括弧を考えてみると、
\begin{align}
[L_i,L_l]&=[\epsilon_{ijk}x_jp_k,\epsilon_{lmn}x_mp_n]\notag\\
&=\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}[x_jp_k,x_mp_n]\notag\\
&=\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}([x_jp_k,x_m]p_n+[x_jp_k,p_n]x_m)\notag\\
&=\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}(-x_j\delta_{km}p_n+p_k\delta_{jn}x_m)\notag\\
&=-\epsilon_{ijk}\epsilon_{lkn}x_jp_n+\epsilon_{ink}\epsilon_{lmn}p_kx_m\notag\\
&=(-\delta_{in}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{nj})x_jp_n+(\delta_{kl}\delta_{im}-\delta_{km}\delta_{il})p_kx_m\notag\\
&=-x_lp_i+x_ip_l
\end{align}
と計算できる。$(i,l)$に具体的な座標方向$x,y,z$を代入すれば、
\[[L_x,L_y]=L_z,\ [L_y,L_z]=L_x,\ [L_z,L_x]=L_y\]
というサイクリックな関係が得られる。これらより、先ほど定義した角運動量集合上のどの元も、そのPoisson括弧を計算したら元の集合に入ることがわかる。これを古典角運動量代数(Classical angular moment argebla)と呼ぶ。角運動量代数のようにPoisson括弧がもつ代数構造をPoisson代数とかPoisson構造と呼んだりする。
量子力学では、物理量を線型演算子（行列）として表現し、その二項演算：
\[[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\]
は交換子積と呼ばれる（Poisson括弧と同じ記号を使っているが、別の演算なので注意！）。これは、演算子の作用の順序の非可換性の強さを量る演算なのだが、実は、この量子力学における交換子積は、古典力学でのPoisson括弧に対応している。以後、$[\bullet,\bullet]$はPoisson括弧ではなく交換子積の記号として用いることにする。
今までに見てきたPoisson括弧の関係式が量子力学でどのように対応していくのかを見てみよう。例えば、古典正準交換関係に対応するものは、位置演算子$\hat{q}_i$と運動量演算子$\hat{p}_j$の間の交換子積であり、
\begin{equation}
[\hat{q}_i,\hat{q}_j]=[\hat{p}_i,\hat{p}_j]=0,\ [\hat{q}_i,\hat{p}_j]=i\hbar \delta_{ij}
\end{equation}
が成立する。これは、正準交換関係(Canonical commutation relations, CCR)と呼ばれている。また、古典角運動量代数に対応するのは、角運動量演算子$\hat{L}_i$同士の交換子積である。これは、
\[[\hat{L}_x,\hat{L}_y]=i\hbar\hat{L}_z,\ [\hat{L}_y,\hat{L}_z]=i\hbar\hat{L}_x,\ [\hat{L}_z,\hat{L}_x]=i\hbar\hat{L}_y\]
となり、古典角運動量代数によく似た関係が得られる。これは、単に角運動量代数(Angular moment argebla)と呼ばれている。
力学を特徴づける演算子同士の交換関係は、量子力学における基本的な関係式として据えられることが多く、それを導く過程は量子化(Quantization)と呼ばれる。量子化にはさまざまな手法が存在するが、今回取り上げた内容をより具体的にすると、古典的物理量$A$から演算子$\hat{A}$を作る写像$Q:A\mapsto Q(A)=\hat{A}$のうち、Poisson構造を$[A,B]_\mathrm{Pois}=A\ast B$、交換子積を$[Q(A),Q(B)]_\mathrm{Com}=Q(A)\circ Q(B)$と書くことにして、
\[
Q(A)\circ Q(B)=\sqrt{-1} \hbar\,Q(A\ast B)
\]
なる$Q$を求めるという過程に帰結できる。ここで、$\hbar$は量子力学的な系に典型的な定数であり、Dirac定数(Dirac's constant)とよばれる。この手続きを幾何学的量子化(Geometric quantization)という。この幾何学的量子化のstatementは、量子力学的世界と古典力学的世界の両者が準同型(Homomorphic)であることをほのめかす。つまり、写像$Q$は、古典力学、量子力学の両者の世界における典型的な二項演算（Poisson括弧、交換子積）の演算の関係性ないし構造を保存するような写像であると解釈できる。
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Last update: 2020/01/28